【技巧归纳+能力拓展】专项突破二 数列（考点1 等差、等比数列的综合应用）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项二 数列 考点1 等差、等比数列的综合应用 大题 拆解技巧 【母题】(2021年全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和,证明:Tn<. 【拆解1】设{an}是首项为1的等比数列,已知a1,3a2,9a3成等差数列,求等比数列{an}的公比. 【解析】设公比为q,因为数列{an}是首项为1的等比数列,且a1,3a2,9a3成等差数列, 所以6a2=a1+9a3,所以6a1q=a1+9a1q2, 即9q2-6q+1=0,解得q=. 【拆解2】设{an}是首项为1,公比为的等比数列,数列{bn}满足bn=,求{an}和{bn}的通项公式. 【解析】因为数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,所以an=()n-1, 所以bn==. 【拆解3】已知数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,且bn=,记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和,求Sn和Tn. 【解析】因为数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,所以Sn==（1-）, Tn=++…++,① Tn=++…++,② ①-②得Tn=+++…+-=-=（1-）-, 所以Tn=（1-）-. 【拆解4】已知Sn=（1-）,Tn=（1-）-,证明:Tn<. 【解析】因为Tn-=（1-）--（1-）=-<0,所以Tn<. 小做 变式训练 已知等差数列{an}的公差d不为0,其中a3=7,a1,a2,a6成等比数列.数列{bn}满足+++…+=. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn. 【拆解1】已知等差数列{an}的公差d不为0,其中a3=7,a1,a2,a6成等比数列,求数列{an}的通项公式. 【解析】由已知得=a1a6,又a3=7, ∴(7-d)2=(7-2d)(7+3d), 解得d=0(舍去)或d=3, ∴an=a3+(n-3)d=3n-2. 【拆解2】已知数列{bn}满足+++…+=,求数列{bn}的通项公式. 【解析】∵+++…+=,① ∴当n=1时,可知=⇒log2b1=2, ∴b1=4, 当n≥2时,可知+++…+=,② ①-②得=⇒log2bn=2n,∴bn=4n(n≥2), 又b1=4满足bn=4n,故当n∈N*时,都有bn=4n. 【拆解3】已知an=3n-2,bn=4n.若cn=anbn,求数列{cn}的通项公式. 【解析】由已知an=3n-2,bn=4n得cn=anbn=(3n-2)×4n. 【拆解4】已知cn=(3n-2)×4n,求数列{cn}的前n项和Sn. 【解析】∵Sn=1×41+4×42+…+(3n-5)×4n-1+(3n-2)×4n,③ ∴4Sn=1×42+…+(3n-5)×4n+(3n-2)×4n+1,④ 由③-④得-3Sn=4+3(42+43+…+4n)-(3n-2)×4n+1=3(1-n)×4n+1-12, 解得Sn=(n-1)×4n+1+4. 通法 技巧归纳 1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 突破 实战训练 <基础过关> 1.已知公差不为0的等差数列{an}满足a3=5,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=-,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)设等差数列的公差为d(d≠0),由a3=5得a1+2d=5, 由a1,a2,a5成等比数列可得(a1+d)2=a1(a1+4d),即2a1d-d2=0, 因为d≠0,所以2a1-d=0,解得a1=1,d=2,所以an=2n-1,n∈N*. (2)由(1)可得bn=-=-=-（-）, Tn=-（1-+-+…+-）=（1-）-（1-）=-. 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an-2anan+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】(1)∵a1=1,an+1=an-2anan+1, ∴an≠0,∴=-2⇒-=2, ∴数列是以2为公差,=1为首项的等差数列, ∴=1+2(n-1)=2n-1, ∴an=(n∈N*). (2)由(1)知bn=(2n-1)×3n, ∴Sn=