专题15.4 分式方程及应用（知识解读）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

专题15.4 分式方程及应用（知识解读） 【学习目标】 1. 了解解分式方程的基本思路和解法． 2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法． 3. 体会解分式方程过程中的化归思想． 4. 结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一 种重要数学模型 【知识点梳理】 考点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 考点2：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 考点3：分式方程应用 类型一：工程问题 类型二：行程问题 类型三：销售问题 类型四：方案问题 【典例分析】 【考点1 分式方程定义】 【典例1】（2022春•方城县期中）给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2021秋•鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2021秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2021春•滨海县期中）下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B．＝1 C．2x＝x﹣5 D．x﹣2y＝6 【考点2 解分式方程】 【典例2】（2022春•雁塔区校级期末）解方程： （1）； （2）＝1． 【变式2-1】（2022春•宿豫区期中）解方程：． 【变式2-2】（2022春•济阳区期末）解方程：． 【变式2-3】（2022春•淮安区期末）解分式方程： （1）； （2）． 【考点3 分式方程应用类型】 类型一 工程问题 【典例3】（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务． （1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？ （2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算） 【变式3-1】（2014•汕尾）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？ （2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【变式3-2】（2021秋•道县期中）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 类型二 行程问题 【典例4】（2021•北碚区校级开学）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李步行的速度和骑自行车的速度； （2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？ 【变式4】（2021•东莞市校级二模）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有48分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了2分钟，然后立即骑自行车（匀速）返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． （1）李明步行的速度是多少？ （2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？