26.2 反比例函数与实际问题-【金典数学】2022-2023学年九年级数学下册同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教版）

26.2 反比例函数与实际问题 知识点1　 利用反比例函数解决实际问题的步骤 ★★☆ 基本思路： 建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 一般步骤如下： （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 知识点2　 利用反比例函数解决实际问题的常见类型 ★★★ 1、当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2、当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3、在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4、电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【经典剖析1】 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是（ ） 【经典剖析2】 设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（　　） 　　A. B. C.D. 【经典剖析3】 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【经典剖析4】 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例，药物燃烧完后，与成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时关于的函数关系式为__________ ___，自变量 的取值范围是____________ ___；药物燃烧后关于的函数关系式为_________________. ②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【经典剖析5】 南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数（亩）与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 【经典剖析6】 如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？ 【例题1】 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） （1）求y关于x的函数表达式． （2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ （3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【例题2】 某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示）． （1）分别求出0＜x＜8和8＜x＜t时的函数关系式，并求出t的值． （2）两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？ （3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？ 【例题3】 疫