26.1 反比例函数-【金典数学】2022-2023学年九年级数学下册同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教版）

26.1 反比例函数 知识点1　 反比例函数 ★★☆ 知识点2　 反比例函数的一般形式 ★★☆ 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【经典剖析1】 下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣1 【经典剖析2】 若y＝（a+1）x|a|﹣2是反比例函数，则a的取值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．任意实数 【例题1】 下列函数：①y＝x﹣2②y＝﹣③y＝﹣1④y＝，y是x的反比例函数的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例题2】 若函数是反比例函数，则m的值是 　　． 【例题3】 函数y＝（m+1）x是y关于x的反比例函数，则m＝　　． 【例题4】 已知函数y＝（k2+k）x是反比例函数，则k的值为　　． 知识点3　 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 ★★☆ 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【经典剖析1】 正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A（2，m）． （1）求出点A的坐标；（2）求反比例函数关系式． 【经典剖析2】 已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8． (1) 与之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当＝4时，的值． 【例题1】 已知y＝y1﹣y2，并且y1与x2成正比例，y2与（x﹣2）成反比例，当x＝﹣2时，y＝3；当x＝3时，y＝13． （1）求y关于x的函数解析式；（2）求当x＝5时的函数值． 【例题2】 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集； （3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，直接写出点P的坐标． 【例题3】 如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），顶点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限的图象分别交AB，AC于点E，F，连接OF，EC交于点M，△OFC的面积等于1． （1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OAEM的面积． 【例题4】 如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（1，4），交CD于点E． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△BCE的面积． 知识点4　 反比例关系与反比例函数的区别与联系 ★☆☆ 知识点5　 双曲线 ★☆☆ 知识点6　 反比例函数的图象特征与性质 ★★★ 　　1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 要点诠释： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；