第5讲 利用导数研究函数的零点、方程的根（练透重点题型）-2022-2023学年高二数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第二册）

第5讲：利用导数研究函数的零点（方程的根） (重点题型方法与技巧) 目录 类型一：判断、证明或讨论函数零点的个数 类型二：利用最值（极值）研究函数零点问题 类型三：利用数形结合法研究函数的零点问题 类型一：判断、证明或讨论函数零点的个数 典型例题 例题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．与a有关 例题2．（2022·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习（理））已知函数则关于的方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 例题4．（多选）（2022·河北承德·高二阶段练习）设函数，则关于的方程的实数根的个数可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 例题5．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（文））已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线. (1)求的值； (2)判断函数在上零点的个数，并说明理由. 同类题型归类练 1．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数与，则它们的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 2．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）定义在上的函数满足，，当时，，则方程在上解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2022·江西江西·高三阶段练习（文））方程的实根个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2022·陕西·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知函数，其中，为常数，是自然对数的底数.参考数据：，. (1)若，证明： (2)若，，判断的零点个数. 类型二：利用最值（极值）研究函数零点问题 典型例题 例题1．（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设函数在处的切线为． (1)求，的值． (2)设函数，若有三个零点，求实数的取值范围. 例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））已知函数，且在和处取得极值. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值． (1)求实数的值； (2)若有3个零点，求实数的取值范围． 例题4．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有3个不等实根，求的取值范围. 例题5．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））已知函数在与处都取得极值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同实根，求的范围. 同类题型归类练 1．（2022·辽宁·高二期末）已知函数. (1)讨论的零点个数； (2)若关于的方程有两个根，求函数的最小值. 2．（2022·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围． 3．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行． (1)求； (2)若方程在区间上有三个不同的根，求的取值范围． 4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数． (1)若函数在处取得极值，求实数的值； (2)当时，关于的方程在上恰有一个实数根，求实数的取值范围． 5．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））设函数的导数满足，. (1)求的单调区间； (2)在区间上的最大值为，求的值. (3)若函数的图象与轴有三个交点，求的范围. 类型三：利用数形结合法研究函数的零点问题 典型例题 例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若，函数与轴有两个交点，求的取值范围. 例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象过点. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数有3个零点，求的取值范围. 例题3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知函数. （1）当时，讨论极值点的个数； （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 例题4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)求出方程的解的个数． 同类题型归类练 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若且有两个零点，求的取值范围. 2．（2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 3．（