专题02 中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题02 中线四大模型在三角形中的应用（能力提升） 1．直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（　　） A．4 B．4 C．4或4 D．4或2 【答案】D 【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边＝4，则斜边上的中线＝2； ②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线＝4． 故选：D． 2．如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，则线段BE的长为 　 　． 【答案】13 【解答】解：如图，延长FD至点P，使得DP＝DF，连接BP，EP，过点E作EQ⊥FD于点Q， 在△BDP和△CDF中， ， ∴△BDP≌△CDF（SAS）， ∴BP＝CF，∠PBD＝∠C， ∵∠C+∠ABC＝90°， ∴∠PBD+∠ABC＝90°， 即∠ABP＝90°， ∵BE＝CF， ∴BE＝BP， ∴△BEP为等腰直角三角形， ∴EP＝BE， ∵∠ABC+∠C＝90°，BD＝BE，CD＝CF， ∴∠BDE+∠CDF＝135°， ∴∠EDQ＝45°， ∵ED＝， ∴EQ＝DQ＝7， ∴EP＝＝， ∴BE＝13． 故答案为：13． 3．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（　　） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．△ABP和△CRP的面积和不变 【答案】A 【解答】解：连接AR， ∵E，F分别是AP，RP的中点， ∴EF＝AR， ∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大， ∴线段EF的长逐渐增大． S△ABP+S△CRP＝BC•（AB+CR）． ∵CR随着点R的运动而减小， ∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 4．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点． 求证：OB＝AC． 证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD， 中间的证明过程排乱了： ①∵∠ABC＝90°， ②∵OB＝OD，OA＝OC， ③∴四边形ABCD是平行四边形， ④∴四边形ABCD是矩形． ∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC． 则中间证明过程正确的顺序是（　　） A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④ 【答案】D 【解答】解：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD， ∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． ∴AC＝BD， ∴OB＝BD＝AC． 则中间证明过程正确的顺序是②③①④， 故选：D． 5．如图，AB为⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接OE并延长交AC于点F，若BD＝CD，AB＝5，则AF的长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【解答】解：连接AD交OF于点G， ∵E是的中点， ∴OE⊥AD， ∴∠AGO＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AGO＝90°， ∴BC∥OF， ∵OA＝OB， ∴AF＝CF， ∴OF是△ABC的中位线， ∴OF＝BC， ∵BD＝CD， ∴BD＝BC， ∵CA与⊙O相切于点A， ∴∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠ADB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BDA∽△BAC， ∴＝， ∴BA2＝BD•BC， ∴25＝BC2， ∴BC＝10， ∴OF＝BC＝5， ∵OA＝AB＝2.5， ∴AF＝＝＝2.5， 故选：A． 6．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设AF与DE相交于点G， 由折叠得： ∠DAE＝∠DFE，DE是AF的垂直平分线，AE＝EF， ∵点F是BC的中点，点E不是AC的中点， ∴EF不是△ABC的中位线， ∴EF不平行于AB，2EF≠AB， 故①不正确； ∵AB≠AC，点F是BC的中点， ∴∠BAF≠∠CAF， 故②不正确； ∵AF⊥DE， ∴S四边形ADEF＝S△ADF+S△AEF ＝AF•DG+AF•EG ＝AF（DG+EG） ＝AF•DE， 故③正确； ∵∠BDF是△ADF的一个外角， ∴∠BDF＝∠DAF+∠AFD， ∵∠CEF是△AEF的一个外角， ∴∠CEF＝∠EAF+∠EFA， ∴∠