专题02 中线四大模型在三角形中的应用（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题02 中线四大模型在三角形中的应用（专项训练） 1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 　 ． 【答案】　1＜AD＜5 【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， 在△ACD与△EBD中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB＝6，AC＝4， ∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5． 故答案为：1＜AD＜5． 2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，AD＝BD，∠BDC＝45°，点E在BC边上，AE交CD于点F，CE＝EF，若S△FAC＝4，则线段AD的长为 　 　． 【答案】2 【解答】解：延长CD到点G，使DG＝CD，连接AG，过点H作AH⊥CG，垂足为H， ∵AD＝BD，∠BDC＝∠ADG， ∴△BDC≌△ADG（SAS）， ∴∠G＝∠BCD， ∵EF＝EC， ∴∠BCD＝∠EFC， ∴∠G＝∠EFC， ∵∠EFC＝∠AFG， ∴∠G＝∠AFG， ∴AG＝AF， ∵AH⊥FG， ∴HG＝HF， ∴S△AHG＝S△AHF， ∵S△ADG＝S△BCD，S△BCD＝S△ADC， ∴S△ADG＝S△ADC， ∴S△AGH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC， ∴S△AFH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC， ∴S△ADH+S△ADF+S△ADH＝S△ADF+S△AFC， ∴2S△ADH＝S△AFC， ∵S△FAC＝4， ∴S△ADH＝2， ∵∠BDC＝45°， ∴∠BDC＝∠ADH＝45°， ∴AH＝DH， ∴AH•DH＝2， ∴AH＝2或AH＝﹣2（舍去）， ∴AD＝AH＝2， 故答案为：2． 3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝　 ． 【答案】　3 【解答】解：过点B作BF∥AC，交AD的延长线于点F， ∴∠CBF＝∠C，∠DAC＝∠F， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴AC＝AB＝4， ∵D是BC中点， ∴BD＝CDBC＝2， ∴△ADC≌△FDB（AAS）， ∴AC＝BF＝4， ∵∠CAD＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠F， ∴△BCE∽△FBD， ∴＝， ∴＝， ∴CE＝， ∴AE＝AC﹣CE＝3， 故答案为：3． 4．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　　 A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE． 【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：C． （3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF， ∵AE是△ABD的中线 ∴BE＝ED， 在△ABE与△FDE中，， ∴△ABE≌△FDE（SAS）， ∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD， ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD， ∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD， ∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD， ∴∠ADF＝∠ADC， ∵AB＝DC， ∴DF＝DC， 在△ADF与△ADC中，， ∴△ADF≌△ADC（SAS） ∴∠C＝∠AFD＝∠BAE． 5．某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题： 【探究】如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，点D是BC的中点，试探究BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB 证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD 在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（　 ） CD＝BD（中点定义） ∴△ADC≌△EDB（　 　）