精品解析：上海市徐汇中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

徐汇中学高二期中考试数学试卷 2022.11 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 一个球的半径为，则其体积为_________． 2. 直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 3. 已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________； 4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 5. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，大小为________. 6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且直观图的面积为2，则该平面图形的面积为_________． 7. 在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，则这个点到二面角的棱的距离为___________. 8. 在菱形中，，，为菱形所在平面外一点，，，到直线距离为_________． 9. 如图，长方体中，，，则二面角的余弦值为_________． 10. 如图，在正方体中，，中点为P，则过P､A､C三点的截面面积为___________. 11. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________. 12. 如图，正方体则下列四个命题： ①点在直线上运动，三棱锥的体积不变； ②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变； ③点在直线上运动，二面角的大小不变； ④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的一条直线； 其中真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号） 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，、、、是某长方体四条棱中点，则直线和直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 15. 长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ） A. 23 B. 24 C. 26 D. 27 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点． （1）求四面体的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 在四棱锥中，底面正方形，平面，，． （1）分别取侧棱、中点、，证明：直线与平面平行； （2）求四棱锥的表面积． 19. 如图，已知在圆锥中，为底面圆O的直径，点C为弧的中点，． （1）证明：平面； （2）若点D为母线中点，求与平面所成角的正切值． 20. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为. （1）求这种“笼具”的体积（，结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元） 21. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，D､E､F分别为棱长上的点，截面底面ABC，且棱台与棱锥的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） （1）证明：为正四面体； （2）若，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）； （3）设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学高二期中考试数学试卷 2022.11 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 一个球的半径为，则其体积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，该球的体积为. 故答案为：. 2. 直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交##相交或平行 【解析】 【分析】利用平面的基本性质求解. 【详解】因为直线、确定一个平面， 所以、的位置关系为平行或相交， 故答案为：平行或相交 3. 已知圆柱的高为