第10章 4 概率与统计的综合问题（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第4节　概率与统计的综合问题 [对应学生用书P244] 考点1　决策性问题(师生共研) [例1]　(2021·山西运城7月测试)某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价为5千元/个，使用寿命为5个月或6个月(概率均为0.5)；二等品售价为2千元/个，使用寿命为2个月或3个月(概率均为0.5)． (1)若从4个一等品和2个二等品共6个部件S中任取2个装入机器内，求机器运行时间不少于3个月的概率． (2)现有两种购置部件S的方案，如下． 方案甲：购置2个一等品． 方案乙：购置1个一等品和2个二等品(假设某个部件损坏后可立即更换新部件，优先使用一等品)． 试从性价比(即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比)角度考虑，选择哪一种方案更实惠？ [解析]　(1)由题意知机器运行时间不少于3个月共有三种可能： ①取到2个一等品，对应概率为＝； ②取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月， 对应概率为×＝； ③取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月， 对应概率为××＝. 所以机器运行时间不少于3个月的概率P＝＋＋＝. (2)若采用方案甲，设机器正常运行的时间为X(单位：月)，则X的所有可能取值为5,6， 所以P(X＝6)＝×＝， P(X＝5)＝1－P(X＝6)＝， 所以X的分布列为 X 5 6 P 所以E(X)＝5×＋6×＝， 它与成本之比为＝. 若采用方案乙，设两个二等品的使用寿命之和为Y(单位：月)，Y的所有可能取值为4,5,6， 所以P(Y＝4)＝×＝， P(Y＝5)＝2××＝， P(Y＝6)＝×＝， 所以Y的分布列为 Y 4 5 6 P 记M为一等品的使用寿命(单位：月)，此时机器的正常运行时间为Z(单位：月)， 则Z的时间可能取值为4,5,6， 所以P(Z＝4)＝P(Y＝4)＝， P(Z＝5)＝P(M＝5，Y≥5)＋P(M＝6，Y＝5)＝×＋×＝， P(Z＝6)＝P(M＝Y＝6)＝×＝， 所以Z的分布列为 Z 4 5 6 P 所以E(Z)＝4×＋5×＋6×＝， 它与成本之比为＝. 因为<，所以从性价比角度考虑，方案乙更实惠． [解题策略] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高，然后计算方差，分析谁相对稳定，若利用均值能分出谁的平均水平高，就可以直接做出决策；若利用均值不能分出谁的平均水平高，则需再求出方差，通过方差的大小来做出决策． [跟踪训练] 一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个球都是红球”出现3次获得200分，若“摸出的两个球都是红球”出现1次或2次获得20分，若“摸出的两个球都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)． (1)设每轮游戏中出现“摸出的两个球都是红球”的次数为X，求X的分布列； (2)许多玩过这款游戏的人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加，反而减少了，请运用概率统计的相关知识解释上述现象． 解析　(1)每次游戏中，出现“摸出的两个球都是红球”的概率为P＝＝. X的所有可能取值为0,1,2,3， 所以P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C·2＝， P(X＝2)＝C2·＝， P(X＝3)＝C3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)设每轮游戏得分为Y. 由(1)知，Y的分布列为 Y －10 20 200 P Y的数学期望为E(Y)＝－10×＋20×＋200×＝－1.69， 这表明每轮游戏的得分Y的数学期望为负． 因此，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加，反而减少了． 考点2　频率分布直方图与概率相交汇 [例2]　某公司为了增强职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机的计步截图，对于步数超过10 000的给予奖励．图(1)为甲、乙两名职工在某一星期内的运动数折线统计图，图(2)为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图． (1)在这一周内任选两天，求甲、乙两人这两天全部获奖的概率； (2)请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15 000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数； (3)如果图(2)中的频率分布直方图所记录的那天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断作出的是星期几的频率分布直方图． [解析]　(1)由图(1)可知甲、乙两人步数均超过10 000的有星期一、星期二、星期五、星期日，共4天．