第3章 1 导数的概念及其意义、导数的运算（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 高考要求 考向预测 1.了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 1.命题趋势：本讲主要考查导数的运算，求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，为中等难度． 2．核心素养：数学运算、数学抽象． [对应学生用书P56] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率___＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝___ . (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的__切线的斜率__(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为__y－y0＝f′(x0)(x－x0)__ . (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝__为f(x)的导函数． [微提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝__nxn－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax (a＞0且a≠1) f′(x)＝__ax_ln_a__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax (x＞0，a＞0且a≠1) f′(x)＝____ f(x)＝ln x(x＞0) f′(x)＝____ 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__； (3)′＝____(g(x)≠0). 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x). 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)求f′(x0)时，必须先求f(x0)，再求f′(x0).(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．(多选)下列求导运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x　　　　　　　 B．′＝ C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝ 解析　因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以A，D正确． 答案　AD 3．(活用结论)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C.0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析　f(3)－f(2)可写为，表示过点(2，f(2))，(3，f(3))连线的斜率，f′(2)，f′(3)分别表示曲线f(x)在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，设过点(2，f(2))，(3，f(3))的直线为m，曲线在点(2，f(2))，(3，f(3))处的切线分别为l，n，画出它们的图象，如图，由图可知0＜kn＜km＜kl，故0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2). 答案　C 4．(2021·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为________． 解析　y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5， 所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2. 答案