第1章 5 二次函数与一元二次方程、不等式（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第5节　二次函数与一元二次方程、不等式 高考要求 考向预测 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．命题趋势：不等式解法是不等式中的重要内容，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点． 2．核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P16] 1．一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集 (1)当a＞0时，解集为____ . (2)当a＜0时，解集为____ . 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 __{x|x<x1或x>x2}__ ____ __R__ 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 __{x|x1<x<x2}__ __∅__ __∅__ 1．分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c＜0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则A∩B＝(　　) A．(－2，3)　　　　　　　 B．(1，3) C．(3，4) D．(－2，4) 解析　由题意知A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|－2＜x＜3}，所以A∩B＝(1，3). 答案　B 3．(活用结论)“(x－1)(x＋2)＞0”是“＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　∵“(x－1)(x＋2)＞0”⇔“＞0”， ∴“(x－1)(x＋2)＞0”是“＞0”的充要条件． 答案　C 4．不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________ . 解析　由－x2－3x＋4＞0可知，(x＋4)(x－1)＜0，得－4＜x＜1. 答案　(－4，1) 5．(易错题)对于任意实数x，一元二次不等式mx2＋mx－1＜0恒成立，则实数m的取值范围是________ . 解析　由题可得解得－4＜m＜0.所以m的取值范围是(－4，0). 答案　(－4，0) [对应学生用书P17] 考点1　不含参的一元二次不等式解法(题组练透) 1．不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　) A． B． C．(－∞，－1)∪ D．∪(1，＋∞) 解析　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0， 即(x＋1)(2x－3)＞0，∴x＜－1或x＞. 答案　C 2．(2021·上海卷) 不等式＜1的解集为____________ . 解析　＜1，即－1＜0，即＜0， 解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2). 答案　(－7，2) [练后悟通] 解一元二次不等式的方法和步骤 考点2　含参的一元二次不等式的解法(师生共研) [例1]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0). [解析]　原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以(x－1)＜0. 所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为. [解题策略] 解含参数的一元二次不等式的步骤 [跟踪训练] 1．已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是{x＜x＜－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________ . 解析　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根