第2章 5 指数与指数函数（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第5节　指数与指数函数 高考要求 考向预测 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 1．命题趋势：在指数函数中，比较大小，与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择、填空题，为中档难度． 2．核心素养：数学运算、直观想象． [对应学生用书P37] 1．根式 (1)根式的概念 ①若__xn＝a__，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子____叫做根式，这里__n__叫做根指数，__a__叫做被开方数． ②a的n次方根的表示 xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n＞1). ②＝ 2．有理数指数幂 幂的有 关概念 正分数指数幂：＝____(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的正分数指数幂等于__0__，0的负分数指数幂__无意义__ 有理数指数幂 的运算性质 aras＝__ar＋s__(a＞0，r，s∈Q) (ar)s＝__ars__(a＞0，r，s∈Q) (ab)r＝__arbr__(a＞0，b＞0，r∈Q) 3.指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 性质 函数的定义域为__R__；值域为__(0，＋∞)__ 函数图象过定点__(0，1)__即当x＝__0__时，y＝__1__ 当x＞0时，恒有__y＞1__； 当x＜0时，恒有__0＜y＜1__ 当x＞0时，恒有__0＜y＜1__； 当x＜0时，恒有__y＞1__ 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 [微提醒]　指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过三个定点：(1，a)，(0，1)，. 2．y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征：如图(a1＞a2＞a3＞a4)，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小． 3．当a＞0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．化简(x＜0，y＜0)得(　　) A．2x2y　　　　　　　　　 B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案　D 3．(活用结论)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　) 解析　y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A. 答案　A 4．(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________ . 解析　依题意解得a＝2. 答案　2 5．(易错题)函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________ . 解析　当a＞1时，f(x)＝ax为增函数，则a1＝2， ∴ a＝2满足题意，当0＜a＜1时，f(x)＝ax为减函数，则a－1＝2，∴a＝满足题意，综上有a＝2或a＝. 答案　2或 [对应学生用书P38] 考点1　指数幂的化简与求值(题组练透) 1．(多选)若实数a＞0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝　　　　　　　 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D． 解析　对于A，(－2)－2＝，故A正确；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，.故选AD. 答案　AD 2．计算：8－＋＋[(－2)6] ＝________ . 解析　原式＝(23) －1＋|3－π|＋(26) ＝4－1＋π－3＋23＝π＋8. 答案　π＋8 3．化简下列各式： (1)[(0.064)－2.5]－ －π0； (2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3)(a＞0，b＞0). [练后悟通] 指数幂的运算技巧 运算 顺序 ①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号． 运算基 本原则 ①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为