第3章 2 导数与函数的单调性（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第2节　导数与函数的单调性 高考要求 考向预测 1.了解函数的单调性和导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次) 1.命题趋势：利用导数研究函数的单调性仍然是高考的热点，高考主要考查求函数的单调区间，讨论函数的单调性，利用函数的单调性求极值、最值，知道函数的单调性求参数的取值范围等问题，考查形式为选择题、填空题、解答题，多为中档难度． 2．核心素养：逻辑推理、数学抽象． [对应学生用书P59] 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内__单调递增__ f′(x)＜0 f(x)在(a，b)内__单调递减__ f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是__常数函数__ 理清三组关系 1．“在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒为零． 3．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　　　　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析　因为f′(x)＝－sin x－1＜0.所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D. 答案　D 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 解析　由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0. 答案　B 4．(易错题)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________． 解析　函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，故f(x)的单调递减区间为(0，1). 答案　(0，1) 5．(活用结论)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________． 解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]， ∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 答案　－4 [对应学生用书P60] 考点1　求函数的单调区间(师生共研) [例1]　(2021·长春第三次联考节选)已知函数f(x)＝x2＋ln x－x(a＞0).求函数f(x)的单调区间． [解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝x＋－＝＝. ①当0＜a＜时，令f′(x)＞0得0＜x＜a或x＞，令f′(x)＜0得a＜x＜， 此时f(x)的单调递增区间为(0，a)和，单调减区间为. ②当a＝时，f′(x)≥0恒成立， 此时f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． ③当a＞时，令f′(x)＞0得0＜x＜或x＞a，令f′(x)＜0得＜x＜a，此时f(x)的单调递增区间为和(a，＋∞)，单调递减区间为. [解题策略] 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 提醒　确定单调区间端点值的三个依据：(1)导函数等于0的点；(2)函数不连续的点；(3)函数不可导的点． [跟踪训练] 1．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________． 解析　f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π). 令f′(x)＝0，得x＝或x＝， 当0<x<时，f′(x)>0， 当<x<时，f′(x)<0， 当<x<π时，f′(x)>0， ∴f(x)在和上单调递