第3章 4 课时3 利用导数研究函数的零点（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第三课时　利用导数研究函数的零点 [对应学生用书P71] 考点1　数形结合法研究函数的零点(师生共研) [例1]　设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． [解析]　由题设知，g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0). 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，所以φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． 所以x＝1是φ(x)的唯一极值点且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 所以φ(x)的最大值为φ(1)＝. 又φ(0)＝0，结合函数y＝φ(x)的图象(如图)， 可知①当m＞时，函数g(x)无零点； ②当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点； 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点． [解题策略] 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的取值范围． [跟踪训练] 已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围． 解析　方程g(x)＝2exf(x)可化为－x2＋ax－3＝2x ln x， 即a＝2ln x＋x＋. 令φ(x)＝2ln x＋x＋，x∈， ∴φ′(x)＝＋1－＝＝， ∵当x∈时，φ′(x)<0，当x∈(1，e]时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴φ(x)min＝φ(1)＝4， 又φ＝3e＋－2，φ(e)＝＋e＋2， 且φ>φ(e) ∴画出y＝φ(x)的图象如图所示． 则4<a≤＋e＋2，故实数a的取值范围是. 考点2　利用函数性质研究函数的零点(师生共研) [例2]　(2021·太原市模拟考试(一))已知函数f(x)＝cos x＋x sin x. (1)讨论f(x)在[－2π，2π]上的单调性； (2)求函数g(x)＝f(x)－x2－1零点的个数． [解析]　(1)∵f(－x)＝cos (－x)－x sin (－x)＝cos x＋x sin x＝f(x)，x∈R， ∴f(x)是R上的偶函数， 也是[－2π，2π]上的偶函数． f′(x)＝x cos x，当x∈[0，2π]时，令f′(x)≥0，得0≤x≤或≤x≤2π；令f′(x)＜0，得＜x＜. ∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减． ∵f(x)是偶函数，∴当x∈[－2π，0)时，f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 综上所述，f(x)在，和上单调递减，在，和上单调递增． (2)由(1)得g(－x)＝f(－x)－(－x)2－1＝g(x)， ∴g(x)是R上的偶函数． g′(x)＝x， (ⅰ)当x∈[0，2π]时，令g′(x)＞0，得0＜x＜或＜x≤2π；令g′(x)＜0，得＜x＜. ∴g(x)在和上单调递增，在上单调递减． ∵g＞g(0)＝0，g＝×－×－＜0，g(2π)＝－π2＜0， ∴∃x0∈，使得g(x0)＝0，∴g(x)在[0，2π]上两个零点． (ⅱ)当x∈(2π，＋∞)时，g(x)＝cos x＋x sin x－x2－1＜x－x2＜0， ∴g(x)在(2π，＋∞)上没有零点． 由(ⅰ)，(ⅱ)及g(x)是偶函数可得g(x)在R上有三个零点． [解题策略] 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件． [跟踪训练] (2020·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝3x2－k. 当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 当k＜0时，f′(x)＝3x2－k＞0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 当k＞0时，令f′(x)＝0，得x＝±. 当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0； 当x∈时，f′(x)＞0. 故f(x)在，上单调递增， 在上单调递减． (2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点． 当k＞0时，x＝－为f(x)的极大值点， x＝为f(x)的极小值点． 此时，－k－1＜－＜＜k＋1且f(－k－1)＜0，f(k＋1)