第3章 4 课时2 利用导数研究恒能成立问题（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第二课时　利用导数研究恒(能)成立问题 [对应学生用书P69] 考点1　分离参数法求参数范围(典例迁移) [例1]　已知函数f(x)＝.如果当x≥1时，不等式f(x)－≥0恒成立，求实数k的取值范围． [解析]　原不等式可化为当x≥1时，k≤恒成立， 令g(x)＝(x≥1)， 则g′(x)＝＝. 再令h(x)＝x－ln x(x≥1)，则h′(x)＝1－≥0， 所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0， 所以g(x)为增函数，所以g(x)≥g(1)＝2， 故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]. [解题策略] (1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． (2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 [变式训练] 1．(2021·东北五校联合模拟考试)已知函数f(x)＝aex－ex，其中e是自然对数的底数．若对任意实数x都有f(x)≥0成立，求a的取值范围． 解析　若对任意实数x都有f(x)≥0成立，即aex－ex≥0，分离参数得a≥. 设h(x)＝，则h′(x)＝，当x∈(－∞，1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．所以h(x)max＝h(1)＝1，故a的取值范围是[1，＋∞). 2．(变条件)若将例1改为：∃x∈[1，e]，使不等式f(x)－≥0成立，求实数k的取值范围． 解析　当x∈[1，e]时，原不等式可化为 k≤有解， 令g(x)＝(x∈[1，e])， 由本例解题知，g(x)为增函数， 所以g(x)max＝g(e)＝2＋， 所以k≤2＋，即实数k的取值范围是. 考点2　等价转换法求参数的范围(师生共研) [例2]　已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R).若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　f(x)≥ln x－a＋1可化为 ex－1－ax＋a－1≥0， 令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1， 则当x∈[1，＋∞)时，φ(x)min≥0， ∵φ′(x)＝ex－1－a， ①当a≤0时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0恒成立， ∴a≤0符合题意． ②当a>0时，令φ′(x)＝0，得x＝ln a＋1. 当x∈(－∞，ln a＋1)时，φ′(x)<0， 当x∈(ln a＋1，＋∞)时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在(－∞，ln a＋1)上单调递减，在(ln a＋1，＋∞)上单调递增． 当ln a＋1≤1即0<a≤1时，φ(x)在[1，＋∞)上单调递增， φ(x)min＝φ(1)＝0≥0恒成立， ∴0<a≤1符合题意． 当ln a＋1>1，即a>1时，φ(x)在[1，ln a＋1)上单调递减，在(ln a＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(ln a＋1)<φ(1)＝0与φ(x)≥0矛盾． 故a>1不符合题意． 综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}． [解题策略] 遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采取作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． [跟踪训练] (2021·长春市高三质量监测(二))已知函数f(x)＝x2－a ln x＋(1－a)x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)＞恒成立，求正实数a的取值范围． 解析　(1)由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝x－＋1－a＝＝， 当a≤0时，在(0，＋∞)上f′(x)＞0，所以f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增．当a＞0时，令f′(x)＞0得x＞a，令f′(x)＜0得0＜x＜a，所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． (2)令g(x)＝f(x)－，由(1)及a为正实数知，g(x)＝f(x)－在x＝a处取最小值． f(x)＞恒成立等价于g(a)＞0恒成立， 即－a ln a＋(1－a)a＞0，整理得ln a＋a－1＜0. 令h(x)＝ln x＋x－