第3章 3 导数与函数的极值、最值及导数的应用（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第3节　导数与函数的极值、最值及导数的应用 高考要求 考向预测 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 1.命题趋势：利用导数求函数的极值、最值是高考的热点，由函数的极值、最值求参数范围问题仍是高考的难点，题型各种类型都有，一般难度中等． 2．核心素养：数学运算、数学抽象． [对应学生用书P62] 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0 x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0 图象 极值 f(x0)为__极大值__ f(x0)为__极小值__ 极值点 x0为__极大值点__ x0为__极小值点__ [微提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则__f(a)__为函数的最小值，__f(b)__为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则__f(a)__为函数的最大值，__f(b)__为函数的最小值． 1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　　) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(活用结论)已知函数f(x)＝x2＋ln x，则函数f(x)在[1，e]上的最大值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．＋1 解析　∵f(x)＝x2＋ln x(x>0)，∴f′(x)＝x＋，则f′(x)>0，故f(x)在[1，e]上单调递增， ∴f(x)max＝f(e)＝e2＋1. 答案　D 3．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题正确的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递减 D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 解析　根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0， 所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点． 因为函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增， 所以－1不是函数y＝f(x)的最小值点． 因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于零，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零．故正确的命题是A. 答案　A 4．(易错题)函数g(x)＝－x2的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极值点________．(填“存在”或“不存在”) 解析　结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点． 答案　0　不存在 5．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为________． 解析　由f′(x)＝＋2ax－3，则f′(2)＝0，解得a＝. 答案　 [对应学生用书P63] 考点1　函数的极值问题(多维研析) [例1－1] 　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) [解析]　由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D. [