第2章 3 函数的奇偶性与周期性（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 高考要求 考向预测 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1.命题趋势：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，为中等偏上难度． 2．核心素养：数学抽象、逻辑推理． [对应学生用书P29] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对__任意__的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝__f(x)__，那么称函数f(x)为偶函数 关于__y轴__对称 奇函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对__任意的x∈A__，有－x∈A，且f(－x)＝__－f(x)__，那么称函数f(x)为奇函数 关于__原点__对称 [微提醒]　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．Ｋ 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小__的正数，那么这个__最小__正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 3．对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(　　) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2x 答案　B 3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．0 解析　因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________． 解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，所以 f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案　－2 5．(活用结论)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________． 解析　因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4.f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1. 答案　1 [对应学生用书P30] 考点1　函数的奇偶性(多维研析) 角度一　判断函数的奇偶性 [例1－1]　判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) ； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ [解析]　(1)由≥0得函数的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数． (2)由得函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)，f(x)＝＝－. 所以f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－