第2章 2 函数的单调性与最值（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第2节　函数的单调性与最值 高考要求 考向预测 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值． 2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 1.命题趋势：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题． 2．核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算． [对应学生用书P22] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有__f(x1)＜f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有__f(x1)＞f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是__上升的__ 自左向右看图象是__下降的__ (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上__单调递增或单调递减__，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．此时，__区间I__为函数y＝f(x)的单调区间． [微提醒]　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M(或m)满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (3)∀x∈D，都有f(x)≥m； (4)∃x0∈D，使得f(x0)＝m 结论 最大值 最小值 函数的最大值和最小值统称为最值 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析　对于A，f(x)＝－x为R上的减函数，不合题意，舍． 对于B，f(x)＝为R上的减函数，不合题意，舍． 对于C，f(x)＝x2在(－∞，0)为减函数，不合题意，舍． 对于D，f(x)＝为R上的增函数，符合题意， 故选D. 答案　D 3．(易错题)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 解析　设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞). 答案　B 4．(活用结论)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析　可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝. 答案　2　 5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 解析　因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－. 答案　 [对应学生用书P23] 考点1　确定函数的单调性(区间)(多维研析) 角度一　判断或证明函数的单调性 [例1－1]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [解析]　解法一　设－1＜x1＜x2＜1， f(x)＝a＝a， f(x1)－