第2章 9 实际问题中的函数模型（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第9节　实际问题中的函数模型 高考要求 考向预测 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用． 1.命题趋势：考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本讲考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题． 2．核心素养：数学建模、数学运算． [对应学生用书P50] 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a＞0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 函数 指数函数 y＝ax(a>1) 对数函数y＝ logbx(b>1) 幂函数y＝ xα(x＞0，α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 __增函数__ __增函数__ __增函数__ 图象的 变化趋势 随着x的增大逐渐近似与__y轴__平行 随着x的增大逐渐近似与__x轴__平行 随着x的增大逐渐__靠近__y轴 增长速度 随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于__y＝xα__的函数值增长；而y＝xα的函数值增长又远远大于__y＝logbx__的函数值增长 指数爆炸 当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸” 1．“对勾”函数f(x)＝x＋(a＞0)的性质 (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　) (2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞0)的增长速度．(　　) (3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．(活用结论)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A.f(x)＞g(x)＞h(x)　　　 B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 解析　在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x). 答案　B 3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月份 C．1~2月份的收入的变化率与4~5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 解析　由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误． 答案　D 4．(易错题)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________． 解析　由题意可得y＝ 答案　y＝ 5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 解析　设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 答案　18 [对应学生用书P52] 考点1　用函数图象刻画变化过程(题组练透) 1．(2021·广州市综合检测(一))如图，一高为H