第2章 8 方程解的存在性及方程的近似解（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第8节　方程解的存在性及方程的近似解 高考要求 考向预测 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程的解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点的存在性定理，探索用二分法求方程近似解的思路． 1.命题趋势：利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，为中高档难度． 2．核心素养：直观想象、逻辑推理． [对应学生用书P48] 1．函数零点 (1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为__方程f(x)＝0的解__，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的__横坐标__ . (2)三个等价关系 (3)零点存在定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值__一正一负__，即__f(a)·f(b)＜0__，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)__至少有一个__零点，即在区间(a，b)内相应的方程等于0至少有一个解． [微提醒]　函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内． 2．二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) __(x1，0)__ 无 零点个数 __2__ __1__ __0__ 有关函数零点的三个结论 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　) (2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　) (4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(易错题)下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0) B．函数f(x)＝x＋1的零点为1 C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点 D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 解析　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1. 函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此，D正确，A，B，C错误． 答案　D 3．(活用结论)设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　) A．至少有一实根　　　 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 解析　由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根． 答案　D 4．函数f(x)＝ex＋3x的零点有________个． 解析　f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点． 答案　1 5．(易错题)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________． 解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1， 令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1. 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－. 综上有a＝0或a＝－. 答案　0或－ [对应学生用书P49] 考点1　函数零点所在区间的判断(题组练透) 1．函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间为(　　) A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－＞0，所以f(x)在(1，2)上有零点． 答案　B 2．已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　) A.(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析　因为a＞1，0＜b＜1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零