第2章 5 指数运算与指数函数（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第5节　指数运算与指数函数 高考要求 考向预测 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 1.命题趋势：在指数函数中，比较大小，与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择、填空题，为中档难度． 2．核心素养：数学运算、直观想象． [对应学生用书P37] 1．分数指数幂的意义 (1)正分数指数幂 给定__正__数a和正__整__数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的__正__数b，使得__bn＝am__，则称b为a的次幂，记作b＝ .这就是正分数指数幂． (2)负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)定义，这就是负分数指数幂． 2．指数幂的运算性质 对任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面运算性质： (1)aα·aβ＝__aα＋β__； (2)(aα)β＝__aαβ__； (3)(ab)α＝__aαbα__； (4)＝. 3．指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点：(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＜0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1 在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__正无穷大__；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是__减__函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__正无穷大__ a＞b＞1 0＜a＜b＜1 (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，ax＞bx＞1 (1)当x＜0时，ax＞bx＞1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1 [微提醒]　指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过三个定点：(1，a)，(0，1)，. 2．y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征：如图(a1＞a2＞a3＞a4)，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小． 3．当a＞0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．化简(x＜0，y＜0)得(　　) A．2x2y　　　　　　　　　 B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案　D 3．(活用结论)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　) 解析　y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A. 答案　A 4．(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________． 解析　依题意解得a＝2. 答案　2 5．(易错题)函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析　当a＞1时，f(x)＝ax为增函数，则a1＝2， ∴ a＝2满足题意，当0＜a＜1时，f(x)＝ax为减函数，则a－1＝2，∴a＝满足题意，综上有a＝2或a＝. 答案　2或 [对应学生用书P38] 考点1　指数幂的化简与求值(题组练透) 1．若实数a＞0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝　　　　　　　 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D． 解析　对于A，(－2)－2＝，故A正确；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，，故D错误． 答案　A 2．计算：8－＋＋[(－2)6] ＝________ . 解析　原式＝(23) －1＋|3－π|＋(26) ＝4－1＋π－3＋23＝π＋8. 答案　π＋8 3．化简下列各式： [练后悟通] 指数幂的运算技巧 运算 顺序 ①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号． 运算基 本原则 ①化负指数为正指