第2章 4 幂函数与一元二次函数（教师word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

第4节　幂函数与一元二次函数 高考要求 考向预测 1.了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况． 3．掌握一元二次函数的图象和性质． 4．能用一元二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1.命题趋势：以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，为中档难度． 2．核心素养：逻辑推理、直观想象． [对应学生用书P33] 1．幂函数 (1)定义 形如__y＝xα(α∈R)__的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． [微提醒]　幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__； ②顶点式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)__； ③零点式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(a≠0)__ . (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 __R__ 值域 ____ ____ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，是非奇非偶函数 单调性 在____上是减函数； 在____上是增函数 在____上是增函数； 在____上是减函数 1．幂函数y＝xα的图象在第一象限内 (1)直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α由大到小； (2)y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大． 2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)＞0；当时，恒有f(x)＜0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．(易错题)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　) A．　　　　　　　　　 B．4 C． D． 解析　设f(x)＝xα，因为图象过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－， 答案　C (　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 答案　A 4．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围________． 解析　因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16. 答案　(－∞，16] 5．(活用结论)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________． 解析　因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a＞. 答案　 [对应学生用书P34] 考点1　幂函数的图象与性质(题组练透) 1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　) A．m＝2　　　　　　　 B．m＝－1 C．m＝－1或m＝2 D．m≠ 解析　因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2. 答案　A 2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A.－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1 解析　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1＜2n，所以－1＜n＜0，综上所述，选D. 答案　D 3．则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 答案　D 4．若(a＋1＜(3－2a，则实数a的取值范围是________． 解析　易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域内