5.3 垂径定理-(配套课件)2022-2023学年九年级下册数学【初中学霸作业本】鲁教版

第五章 圆 3 垂径定理 1.了解垂径定理及其逆定理. 2.能够运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 学习目标 重点 难点 了解垂径定理及其逆定理. 能够运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 学习重难点 情景导入 1400多年前，我国隋唐建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？ 5 知识点 1 垂径定理 探究新知 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为点M. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说一说你的理由. 是。对称轴是CD所在的直线。 线段AM=BM 弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 6 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为点M.求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD. 证明：连接OA,OB,则OA=OB. 7 直径 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 条件 结论 垂径定理 符号语言： ∴PC=PD, ⌒ ⌒ BC=BD, ⌒ ⌒ AC=AD. ∵AB是直径, AB⊥CD， A B . O C P D ∟ ● 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 8 垂径定理的几个基本图形： 垂径指垂直于弦的直径、半径、过圆心的直线或线段. 9 知识点 2 垂径定理的逆定理 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说一说你的理由. 是。对称轴是CD所在的直线。 弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 10 CD⊥AB, O C D CD是直径 AE=BE 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. E A B 被平分的这条弦不是直径 ． 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 实际上，垂直于弦，平分弦，直径，平分弦所对的一条弧，平分弦所对的另一条弧这5个条件中，任知2个，可得另3个。 补充说明 例 如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧（即图中CD，点O是CD的圆心），其中CD=600 m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF=90 m.求这段弯路的直径. 随堂练习 1.1400多年前，我国隋唐建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m）. 解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. R D 37.4 7.2 2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 注意：分圆心在两条弦同侧、圆心在两条弦之间、圆心在一条弦上进行讨论. 结论：如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等. 课堂练习 1.（2021 广东广州海珠期末）如 图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则 ⊙O的半径为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B 17 2.如图，矩形ABCD的 边 AB 过 ⊙O的圆心， E，F 分别为 AB，CD 与 ⊙O的 交 点 ，若 AE=3 cm，AD=4 cm，DF= 5 cm，则⊙O的直径等于______. 10 cm 18 3.如图，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB 上的两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形. 19 4.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径. 解：连接OC. ∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= .