精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

南京师大附中2022-2023学年度第1学期 高二年级期中数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若将直线沿轴正方向平移3个单位，再沿轴负方向平移2个单位，又回到了原来位置，则的斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 若数据，，，…，方差为7，则数据，，，…，的方差为（ ） A. 7 B. 49 C. 8 D. 64 4. 已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，顶点在椭圆上，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知矩形的长为2，宽为1，以为坐标原点，，边分别为轴正半轴，轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若将矩形折叠，使点落在线段上（包括端点），则折痕所在直线纵截距的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 过坐标原点作直线：的垂线，若垂足在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，，，则的最大值是（ ） A. B. 6 C. D. 12 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 若曲线：，下列结论正确的是（ ） A. 若曲线是椭圆，则 B. 若曲线是双曲线，则 C. 若曲线椭圆，则焦距为 D. 若曲线是双曲线，则焦距为 10. 为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. B. 得分在区间内的学生人数为200 C. 该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80 D. 估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内 11. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（ ） A. B. C. 3 D. 4 12. 已知点为双曲线右支上一点，、为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为、，过点作交于点，过点作交于点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________. 14. 若，是椭圆：两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________． 15. 已知圆和直线相交于，两点，若射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转，角得到，则的值为_________． 16. 已知，为椭圆左、右焦点，过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线，若直线上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17. 已知直线l经过两直线：和：的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程． 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图． （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示． （i）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数； （ii）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率． 19. 已知椭圆：的离心率为，点，分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线，使得与椭圆相交于两点，且点恰为的重心？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与圆：交于点（与不同），过原点且垂直于的直线与圆：交于，两点． （1）记直线的倾斜角为，求的取值范围； （2）若线段的中点为，求面积的取值范围． 21. 已知椭圆：，若点，，，中恰有三点椭圆上． （1）求的方程； （2）点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆