专项08 角中的动态综合问题-【冲刺满分】2022-2023学年七年级数学上学期拉分专题重难点突破（人教版）

专项08 角中的动态综合问题 考点导图 素质拓展 1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则 t的值为 秒（直接写出结果）． （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，试探索：在旋转过程中，∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 【答案】（1）直线ON平分∠AOC；（2）12或30秒；（3）差为定值30°． 【详解】试题分析：（1）直线ON平分∠AOC，设ON的反向延长线为OD，已知OM平分∠BOC，根据角平分线的定义可得∠MOC=∠MOB，又由OM⊥ON，根据垂直的定义可得∠MOD=∠MON=90°，所以∠COD=∠BON，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BON，即可∴∠COD=∠AOD，结论得证；（1）已知∠BOC=120°，根据平角的定义可得∠AOC=60°，旋转至直线ON恰好平分锐角∠AOC，可得旋转120°或300°时ON平分∠AOC，由此可得10t=120°或300°，所以n=12或30；（3）差为定值30°，因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，再根据角的的和差计算即可． 试题解析： （1）直线ON平分∠AOC．理由： 设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC=∠MOB， 又∵OM⊥ON， ∴∠MOD=∠MON=90°， ∴∠COD=∠BON， 又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等）， ∴∠COD=∠AOD， ∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC． （2）12或30秒 （3）差为定值30° ∵∠MON=90°，∠AOC=60°， ∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON， ∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°． 我思故我在：本题考查了角平分线的定义及角的和差计算，解题的关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系． 实战演练 2．如图①，点O为直线AB上一点，射线OC⊥AB于O点，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处，斜边OE在射线OB上，直角顶点D在直线AB的下方． （1）将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边OE在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线OD是否平分∠AOC？请说明理由； （2）将图①中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OD恰好平分∠AOC，则t的值为________；(直接写出结果) （3）将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③，使OD在∠AOC的内部，请探究：∠AOE与∠DOC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）直线OD不平分∠AOC，理由见解析；（2）3或39；（3）∠DOC－∠AOE＝30°，理由见解析. 【详解】试题分析：（1）先根据角平分线的性质得到，∠BOE=45°，于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°，进而求出∠COM与∠AOM的值，∠AOM≠∠COM，直线OD不平分∠AOC； （2）分OD与OD的延长线平分∠AOC两种情况； （3）∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°． 试题解析：（1）直线OD不平分∠AOC，理由：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝45°，∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝60°－45°＝15°，延长DO至M，则∠COM＝180°－90°－15°＝75°，∠AOM＝90°－75°＝15°，即∠AOM≠∠COM； （2）3或39； 延长DO， ∵∠AOC=90°， 当直线OD恰好平分角∠AOC， ∴∠AOM=∠COM=45°， 即逆时针旋转15°时DO延长线平分∠AOC， 由题意得，5t=15° ∴t=3， 当DO平分∠AOC， ∴∠DOA=45° 即逆时针旋转195°时DO平分∠AOC， ∴5t=195°， ∴t=39， ∴t=3或39； （3）∠DOC-∠AOE=30°， ∵∠DOE=60°，∠AOC=90°， ∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD， ∴∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°， 所以∠AOE与∠DOC之间