解题方法突破 构造辅助线专题课件（第1—6讲）--名师微课堂

全等三角形的辅助线（上） 讲师：马老师 中考 平面图形的基础 边角相等的工具 中考的热点 技巧 转化化归的思想 构造法 利用对称 平行线 做垂线 截长补短法 特殊法 平移旋转法 突破 例1.（2013年山东聊城8分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE． F 例2.（2013年广东珠海9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E． （1）求证：∠CBP =∠ABP；（2）求证：AE=CP； D 小试身手 （2013年辽宁本溪12分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验， 如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C， 使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°， 测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某 校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？ 请说明理由（参考数据： =1.41， =1.73） E $$ 圆中的辅助线（上） 讲师：马老师 直击中考 运用圆的有关性质及计算公式进行简单的几何证明和几何计算是热点题型. 技巧 根据特点作辅助线: 实战突破 （Ⅰ）如图①，连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l，∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∴∠BAC=∠DAC=30°； 身手 证明：（1）∵PA，PC与⊙O分别相于点A，C， ∴∠APO=∠FPO且PA⊥AO. ∴∠PAO =90°. ∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°， ∴∠APO=∠EDO. ∴∠EPD=∠EDO. 2.（2013黑龙江哈尔滨8分）如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E．AD=AE （1）求证：AB=AC；　（2）若BD=4，BO= ，求AD的长． 本节小结： $$ 全等三角形的辅助线(下) 讲师：马老师 直击中考 （ 2013年广西贵港3分）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=　 　． 平面图形的基础 边角相等的工具 中考的热点 解题技巧 转化化归的思想 构造法 利用对称 平行线 做垂线 截长补短法 特殊法 平移旋转法 实战突破 E 【解析】如图（2），AB﹣BD= CB．证明如下： 如图，过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E， ∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°－∠DCE，∠BCD=90°－∠ECD． ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°－∠AFC，∠D=90°－∠BFD． ∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D． 又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB． ∴AE=DB，CE=CB．∴△ECB为等腰直角三角形．∴BE= CB． 又∵BE=AB－AE，∴BE=AB－BD．∴AB－BD= CB． G 【技巧传播】 截补法：有目的截取或补足与所求线段相等的线段，构造全等证明． （ 2013年广西贵港3分）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=　 　． 【思维导向】 　　注意到题目前中的特殊点，充分利用特殊点来构造全等三角形．特殊法 课程总结 $$ 关于中点的辅助线（上） 讲师：马老师 直击中考 中点是线段上的特殊点，它的特殊性决定着它的重要性，在几何题中，中点出现的频率相当高，中点中所蕴含的信息非常丰富，所以，利用好中点是解决几何题的关键． 解题技巧 根据特点作辅助线： 实战突破 【解析】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点， ∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC， ∵DE⊥BC，∴DE⊥DO， 又∵点D在圆上， ∴DE为半圆O的切线； M N 【例2】（2012年北京模拟7分）在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P， 使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F． （1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB AC，其它条件不变时， （1）中的结论是否发生改变？请说明理由． 【解析】（1）DE=DF．