5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2) 1正弦函数，余弦函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 最值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 解析 如何理解三角函数的单调性、最值？ 主要是结合图象及其周期性，比如如何理解正弦函数在单调递增? ① 在一个周期内，找到一个单调增区间； ② 接着每隔一个周期个单位就有一个增区间，则是的增区间. 类似可得到正弦函数的减区间与最值，余弦函数的单调性与最值. (也可以利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质) 【例】 求正弦函数、余弦函数在的单调性. 解 结合图象可得，正弦函数的增区间是，，减区间是； 余弦函数的增区间是，减区间是. 【题型1】 单调性 【典题1】 求下列函数的单调递减区间． (1) ；(2) ． 解析 (1) 令，而函数的递减区间是． 原函数递减时，可得，解得． 原函数的递减区间是． (2) ， 令，而函数的递减区间是． 原函数递减时，得，得． 原函数的递减区间是． 点拨 求三角函数的单调性，利用换元法，把代入对应的单调区间；而由复合函数的单调性“同增异减”，与的单调性相反. 【典题2】下列关系式中正确的是(　　) A． B． C． D． 解析 ，． 因为在上递增，所以， 即，故选. 点拨 本题利用函数的单调性比较大小，思路是统一函数名，把角度限制在一范围. 【典题3】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( ) ． ． ． ． 解析 由，得， 即， 在区间上单调递增，此时函数单调递增区间经过原点， 则当时，增区间为[，]． 此时满足，得，解得，即的取值范围是，故选：． 【巩固练习】 1. 函数的单调递增区间是(　　) ． ． ． ． 答案 解析 对于函数)，令， 求得，故函数的单调增区间为，， 故选：． 2.已知函数为奇函数，，当取最小值时，的一个单调递减区间是(　　) ． ． 答案 解析 函数为奇函数， 则，，； 由知函数的图象关于直线对称， 由是上的奇函数知， 在中，以代得：即， 所以 即， 所以是以为周期的周期函数； 所以，解得； 当取最小值时，； 令，；解得，； 令，得， 所以的一个单调递减区间是． 故选：． 3.若，则(　　) 答案 解析 利用函数的单调性：由于函数在区间[]上单调递减， 故：，解得：， 所以的值在的左边且离得比较近，接近于最大值，故最大， 由于，故：， 所以． 故选：． 4.设，若在上为增函数，则的取值范围是(　　) ．[，] ．[，] ．(0，] ．(0，] 答案 解析 设，在上，∈[，]， 由于为增函数，，即 ，求得， 故选：． 5.设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为　 　． 答案 解析 函数，，，若在区间上单调， 则，． ，，为的一条对称轴， 且(即为的一个对称中心， ，解得，， 故答案为：． 【题型2】 最值 【典题1】 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值： (1)；(2) ，． 解析 (1)，当， 即，时，有最大值，相应x的集合为． 当，即，时，有最小值，相应的集合为． (2)令，，，即， ，，的最大值为，最小值为； 当时，取得最大值；当时，取得最小值； 当，即时， 取得最大值； 当，即时，取得最小值. 【典题2】求函数的值域． 解析 ． 令，则， ， 即函数的值域为． 点拨 利用，把函数化为仅含，再利用换元法(注意取值范围)转化为二次函数的值域问题. 【巩固练习】 1.函数的最大值与最小值之和为(　　) A． B． C． D． 答案 解析 由可得，， 所以， 所以最大值为，最小值为，最大值与最小值之差为． 2.函数的值域是 . 答案 . 解析 由，可得，函数. 3.求函数的值域 ． 答案 解析 ． ， 当x ，即时，； 当，即时，． 故函数，的值域为． 4.已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为　　． 答案 . 解析 在区间上，]， )的值域为， ，，，. 【题型3】三角函数综合 【典题1】 设函数，则下列结论错误的是(　　) 的一个周期为 的图象关于直线对称 的一个零点为 在区间[]上单调递减 解析 根据题意，依次分析选项： 对于)，其周期，正确； 对于)，令，解可得，即的对称轴为，当时，，即的图象关于直线对称，正确； 对于)，当时，)，则不是)的零点，错误； 对于)，， 解可