5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) 1 周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期. 解析 (1)从解析式来看：任一自变量对应函数值与增加后对应函数值相等； (2)从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！ 周期函数的周期不止一个，可正可负，比如上面第图对应的函数的周期有及其等. (3) 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做的最小正周期. 【例】 若，那的一个正周期是多少？ 解 ，，所以的一个正周期是. 2 正弦函数，余弦函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 周期性 对称中心 对称轴 解析 (1) 周期 根据周期的定义，由于，可知，，，….都是正弦函数、余弦函数的周期，其中是最小正周期. 三角函数或的最小正周期. (2) 奇偶性 由，，或者看正弦曲线关于原点对称，余弦曲线 关于轴对称，均可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. (3) 如何理解三角函数的对称轴、对称中心？ 主要是结合图象及其周期性，比如如何理解正弦函数对称中心? ① 在一个周期内，找到一个对称中心； ② 接着每隔半个周期个单位就有一个对称中心，则即是其对称中心. 类似可得到正弦函数的对称轴方程，余弦函数的对称轴方程与对称中心. 【例】判断函数的奇偶性. 解析 函数的定义域是，且，故是偶函数. 【题型1】周期性 【典题1】 求下列函数的周期： (1) ；(2)． 解析 (1)方法1令， ，，函数的最小正周期是，就是说变量只要且至少要增加到，函数的值才能重复取得，而， 自变量只要且至少要增加到，函数值才能重复取得， 从而函数的周期是． 方法2 中，，． (2)作出的图象如图： 由图象易知的周期为． 点拨 求函数周期的方法： 1 定义法； 2 三角函数或的最小正周期； 3 数形结合，注意函数图象的各种变换. 【典题2】函数在区间上至少存在个不同的零点，则正整数的最小值为(　　) 解析 函数在区间上至少存在个不同的零点， 则，整理得：，解得：， 故选：． 【巩固练习】 1.下列函数中，周期为的函数为(　　) A．　　 B． C． D． 答案 ． 解析 利用周期公式，可知中函数周期．故选． 2.下列函数中，周期为的是(　　) 答案 ． 解析 对于选项：函数的最小正周期为，故正确． 对于选项：函数的最小正周期为．故错误． 对于选项：函数的最小正周期为．故错误． 对于选项：函数不为周期函数，故错误． 故选：． 3.若函数的周期为，则______． 答案 解析 由得，． 4.设函数，若对任意都有成立，则的最小值为______． 答案 解析 函数，若对于任意的，都有， 是函数的最小值，是函数的最大值， 的最小值就是函数的半周期. 【题型2】 奇偶性 【典题1】 判断下列函数的奇偶性： (1)；(2) ；(3) ． 解析 (1)函数的定义域为，关于原点对称． ， 为奇函数． (2)函数应满足， 函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称， 为非奇非偶函数． (3)由得， 函数的定义域为，定义域关于原点对称． 当时，，． 既是奇函数又是偶函数． 【典题2】函数的图象(　　) ．关于点对称 ．关于点对称 ．关于直线对称 关于直线对称 解析 方法1 对于函数， (求出函数的所有对称轴和对称中心再判断) 令，则则函数的对称轴是， 若，解得；若，解得，故排除； 令，则则函数的对称中心是， 若，解得，可排除； 若，解得，故关于点对称. 故选：． 方法2 对于函数， 当时，，而不是正弦函数的对称中心，故错误； 当时，，而是正弦函数的对称中心，故正确； 当时，，而不是正弦函数的对称轴，故错误； 当时，，而不是正弦函数的对称轴，故错误； 故选：． 点拨 本题两种方法， 方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把看成整体)，再判断； 方法2是把问题转化正弦函数的性质判断； 对于三角函数 ① 若是其对称轴，则是正弦函数的对称轴； ② 若是其对称中心，则满足函数的对称中心. 对于三角函数类似. 【典题3】 已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，则最小值 . 解析 由于函数的对称轴方程为， 所以，整理得； 函数的一个对称中心为点，所以，整理得，， 由于， 所以当或时，的最小值为． 故答案为：． 【巩固练习】 1.函数的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数[来:学 D．非奇非偶函数 答案