精品解析：上海南汇中学2023届高三上学期期中数学试题

上海南汇中学2022学年第一学期期中考试 高三数学 满分：150分完成时间：120分钟命题人：邬婷婷朱黎华审题人：沈莉萍 注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效. 一、填空题:（本大题满分54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分.） 1. 已知扇形弧长是6，圆心角是2弧度，则该扇形的半径是___________. 2. 不等式的解集为________ 3. 已知，则______． 4. 若函数，则__________. 5. 在中，若，，，则______． 6. 已知函数在点处的切线斜率为，则________． 7. 已知集合有且只有两个子集，则实数________. 8. 已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围是______． 9. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为________． 10. 已知函数，若对于任意实数都有和成立，则的最小值为________. 11. 已知，且有最小值6，则实数的取值范围为______. 12. 已知定义在上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数（），若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为______. 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分.） 13. 若，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设、、是定义域为三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是 A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 设向量，，. （1）若，求实数的值； （2）在方向上的数量投影与投影. 18. 已知全集，集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，集合是不等式的解集， （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 19. 某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且百米，边界线始终过点，边界线满足．设百米，百米． （1）将表示成的函数，求出函数的解析式； （2）当取何值时？整个中转站占地面积最小，并求出其面积的最小值． 20. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域； （3）设，记方程在上根从小到大依次为，若，试求与的值. 21. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. （1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； （3）若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2022学年第一学期期中考试 高三数学 满分：150分完成时间：120分钟命题人：邬婷婷朱黎华审题人：沈莉萍 注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效. 一、填空题:（本大题满分54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分.） 1. 已知扇形的弧长是6，圆心角是2弧度，则该扇形的半径是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】结合扇形弧长公式可直接求解. 【详解】由. 故答案为：3 2. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题 故答案为 【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目． 3. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商式，弦化切，结合正切的差角公式，可得答案. 【详解】由，则， 即， 故答案为： 4. 若函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入逐次运算，即可求解. 【详解】∵函数， ∴. 故答案为：1. 5. 在中，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求解． 【详解】由