专题04 一次函数突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】 -2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题04 一次函数突破核心考点 【聚焦考点+题型导航】 考点一 函数定义的理解与辨析 考点二 正比例函数的定义及辨别 考点三 一次函数的定义及辨别 考点四 一次函数的图象与性质 考点五 一次函数与x轴,y轴的交点坐标 考点六 一次函数的平移问题 考点七 待定系数法求一次函数的表达式 考点八 一次函数与三角形的面积问题 考点九 用一次函数解决实际问题 考点十 一次函数与几何综合问题 【知识梳理+解题方法】 1 函数的概念 1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 2 函数的三种表示方法 1）函数关系有三种表示方法： ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算 ③图像法：只能表示函数关系，不能确切得出函数 2）函数的三种表示方法的优缺点： ⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。 ⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。 3函数的自变量的取值范围 1）自变量的取值范围 整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零；在实际问题中：自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。 2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值。 4 函数的图像及画法 1）函数的图像：对于一个函数，把自变量与应变量的值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形。 如：某天气温随时间的变化 2）已知函数解析式，绘制函数图像步骤： ①确定自变量的取值范围；②列表：列出若干自变量与对应应变量的值；③描点：在坐标轴上对应点描点 ④连线：平滑曲线依次连接。 5 一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 6.一次函数的图象性质 一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 7．一次函数（，为常数，）沿坐标轴平移个单位长度后的函数关系式 平移 平移变换后的函数关系式 沿轴 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 沿轴 向右平移个单位长度 向左平移个单位长度 8．一次函数（，为常数，）关于坐标轴对称后的函数关系式 关于坐标轴对称 对称变换后的函数关系式 关于轴对称 关于轴对称 9.函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 10、分段函数 有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函 数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发 生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线， 我们把这类函数归类为分段函数。 在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量 进行对比。 11、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤 （1）设定实际问题中的变量（2）建立一次函数表达式； （3）确定自变量的取值范