精品解析：上海市彭浦中学2023届高三上学期期中数学试题

高三数学期中试卷 时长：120分钟 满分150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____________． 2. 已知复数满足，i为虚数单位，则______ 3. 已知向量，．若，则实数k值为________． 4. 首项为1，公比为无穷等比数列的各项和为______． 5. 在中，内角的对边分别是，若，，则____. 6. 已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________． 7. 记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________． 8. 已知函数，a为实数．若对于任意的，都有，则a的取值范围为________． 9. 已知函数，若当时，能取到最小值，则实数的取值范围是___． 10. 用总长14.8的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5,则容器的最大容积是_________. 11. 如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______ 12. 设，．若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为____________． 二、选择题（本大题共有4题，每题5分） 13. 已知，则是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 要得到函数的图象,只要将的图象( ) A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 15. 下列命题正确是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若,,则 D. 若,,则 16. 已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）求函数的最小正周期及函数在上单调递减区间 18. 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点． （1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积； （2）已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离． 19. 已知无穷数列的前项和为，，，对任意的，都有． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的通项公式； 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）若函数在处取得极大值，求取值范围； （3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围. 21. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数乘积的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，有不等式都成立，求实数s的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学期中试卷 时长：120分钟 满分150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分别算出数集与，然后求交集即可. 【详解】因为在时单调递增，则当时，取得最小值为1， 即； 对于，，，即； . 故答案为：. 2. 已知复数满足，i为虚数单位，则______ 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数的运算，求得，即可求得结果. 【详解】设，故可得，即， 故，则. 故答案为：. 3. 已知向量，．若，则实数k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题意，可得. 故答案为： 4. 首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由由等比数列前项和公式可得 ，当 趋于无穷大的时候，的各项和为. 故答案为： 5. 在中，内角的对边分别是，若，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】 由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角. 【详解】 根据正弦定理： 可得 根据余弦定理： 由已知可得： 故可联立方程： 解得：. 由 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 6. 已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．