精品解析：上海财经大学附属北郊高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

上海财经大学附属北郊高级中学2022学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 若一个球体积为，则该球的表面积为_________． 2. 正方体中，异面直线与所成的角的大小为______. 3. 向量与夹角的大小为__________. 4. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____； 5. 在等差数列中，其前项和为，已知公差，则__________． 6. 记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________． 7. 若表示等式为正偶数），则表示的等式为__________. 8. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则圆锥母线与底面所成角为__________．（结果用反三角函数值表示） 9. 在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则__________． 10. 已知分别是空间四边形各边的中点，若，则__________. 11. 如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______. 二､选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分） 13. 设，为空间两条不同直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，且，，则； ④若，且，则. 其中所有正确命题的序号是 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 14. 若一个水平放置图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 12 16. 1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（ ） A. 20180 B. 20200 C. 20220 D. 20240 三､解答题（本大题共有4题，满分48分） 17. 如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示） 18. 如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱. （1）当时，求圆柱的体积； （2）当为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值. 19. 据相关数据统计，至2021年底全国已开通5G基站140万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2022年的重点工作，2022年一月份全国开通5G基站4万个． （1）如果从2022年2月份起，每个月比上一个月多开通2000个，那么，到2022年底全国共开通5G基站多少万个；（结果精确到01万个） （2）如果2022年计划开通5G基站60万个，并且自2023年起每年新开通基站数量比上一年增加x%，若到2024年底全国开通的5G基站总数至少达到500万个，求x的最小值．（结果精确到0.01） 20. 如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海财经大学附属北郊高级中学2022学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为. 2. 正方体中，异面直线与所成的角的大小为______. 【答案】60° 【解析】 【分析】如图所示，连接，，则即为异面直线与所成角．利用△为正三角形，即可得出． 【详解】解：如图所示，直线，所以直线与所成的角即为异面直线与所成角． △为正三角形， ． 故答案为：60°. 【点睛】本题考查正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查推理能力与计算能力. 3. 向量与夹角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹