极坐标、参数方程专题复习讲义——2022届高三数学二轮专题复习

极坐标、参数方程专题复习资料 一、知识要点： (一) 极坐标： 1．极坐标与直角坐标的互化： ①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。 ②互化公式：设是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点 直角坐标 极坐标 互化公式 说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角； 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 （二）参数方程: 1.常见的参数方程: (1)直线的参数方程： 若直线过，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t>0；若动点P在定点P0的下方，则t<0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|. （2）圆的参数方程： ①圆的参数方程（为参数） ②圆的参数方程为：（为参数） （3）椭圆的参数方程 （为参数） （4）抛物线的参数方程（为参数） 2.关于参数几点说明： （1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 （2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 （3）在实际问题中要确定参数的取值范围。 （4）利用直线参数方程中参数的几何意义解题中经常用到结论： 经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)．若A，B为直线上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到： ①；②；③；④. 注意：直线的参数方程中，参数的系数的平方和为1时，才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点到的距离，即. 二、题型： （一）极坐标、参数方程、直角坐标方程互化的问题： 1.已知曲线的参数方程为为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线． （1）求曲线的普通方程； （2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程． （二）长度或距离问题： 1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数). 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 （Ⅰ）写出曲线的普通方程； （Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线于两点，求. 2.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线. （1）求曲线的直角坐标方程； （2）已知直线与曲线交于，两点，点，求的值. 3.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数），将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为. （1）求曲线的普通方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，求的值. 4．在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点．曲线的极坐标方程为． （1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方)，求的值. 5.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设，与交于，两点，求. 6．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的在半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程； （Ⅱ）若射线与曲线分别交于，两点，求. 7．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求的值． 8．已知曲线的参数方程为，在极坐标系中曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线与曲线交于两点，求． 9．已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为参数）． （Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值． （三）面积问题： 1.在直角坐标系中，曲线C的参数方程是（为参数）。以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系。 （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）设交于异于原点的A，B两点，求的面积。 2.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度