6.1.2 空间向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.1.2　空间向量的数量积 (一)空间两个向量的夹角 1．夹角 2.空间两个向量的关系 (1)如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b ； (2)如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b ； 同向 反向 互相垂直 (1)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a. (2)①a，b＝b，a＝－a，－b＝－b，－a； ②a，－b＝－a，b＝π－a，b； 答案：B (二)空间向量的数量积 1．空间向量的数量积的定义 定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量 叫作向量a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ ． 规定 零向量与任一向量的数量积为___. |a||b|·cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 0 2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b＝_____ 结合律 (λa)·b＝ (λ∈R) 分配律 (a＋b)·c＝_________ b·a λ(a·b) a·c＋b·c (1)空间向量数量积的性质 (2)与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． —————————————————————————————————— (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. (　 ) (3)对于非零向量a，b，a，b与－a，－b相等． (　 ) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c. (　 ) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 1．空间向量的数量积的运算方法 已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．　　 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a||b|cosa，b求解. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．　　 [对点训练] 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. 1．利用向量求异面直线夹角的步骤 取向量 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 角转化 异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 求余弦值 利用数量积求余弦值的大小 定结果 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二)” (单击进入电子文档) 38 明学习目标 知结构体系 课标要求 掌握空间向量的数量积运算． 重点难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质． 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. 〈a，b〉 [0，π] 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作 图示 表示 ________ 范围 _______ 向量a与向量b的夹角 (3)如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a与b ，记作 . a⊥b ③eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝eq \o(BA,\s\up17(―→))，eq \o(CA,\s\up17(―→))＝π－eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(CA,\s\up17(―→))． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是 (　 ) A．eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(A1C1,\s\up17(――→))　 B．eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(C1A1,\s\up17(――→