第六章 空间向量与立体几何 章末小结与质量评价（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．数形结合思想：向量方法是解决立体几何问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而建立了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起． 2．转化与化归思想：空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了方法，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．一般地，先将几何问题转化为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题，这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要． [自我小结]　_____________________________________________________ _____________________________________________________________________ 利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示． (4)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．　　 4．(2022·北京高考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为 正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别 为A1B1，AC的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)证明：法一：如图，设点P为AB的中点，连接PN，PM，因为N为AC的中点， 所以PN为△ABC的中位线， 所以PN∥BC. 又M为A1B1的中点， 所以PM∥BB1. 因为BB1∩BC＝B，PM∩PN＝P，BB1，BC⊂平面BCC1B1，PM，PN⊂平面MPN， 所以平面BCC1B1∥平面MPN. (2)因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1， 又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，且平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝BB1， 所以CB⊥平面ABB1A1，而AB⊂平面ABB1A1，所以CB⊥AB. 选条件①：由(1)得B1D∥MN，因为AB⊥MN，所以AB⊥B1D， 又B1D∩CB＝D，所以AB⊥平面BCC1B1， 在三棱柱ABC-A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直， 故以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz， 因为AB＝BC＝BB1＝2， 所以B(0,0,0)，N(1,1,0)， 1．空间几何体建系的原则 建立空间直角坐标系时要充分考虑已知条件和图形的特征，尽可能地把已知量放在坐标轴上或坐标平面内，以方便写点的坐标．写点的坐标时要充分利用图形中的平行、垂直以及对称关系等． 2．用向量法求空间角应注意的问题 (1)异面直线所成的角：两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成的角求解． 向量法求距离的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系；写出(求出)相关点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的距离公式计算．所有的距离最后都可以归结为空间两点的距离和点到面的距离．　　 阶段综合检测(一) (单击进入电子文档) 36 二、把握重点·常考题型集训 题型一　空间向量的运算　 1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x＝ (　 ) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 解析：由b＝eq \f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20)． 答案：B　 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，