专题14.2 乘法公式-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

专题14.2 乘法公式 ( 目标导航 ) 1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。 ( 知识精讲 ) 知识点01 平方差公式 知识点 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。 【知识拓展1】平方差公式的几何背景 例1．（2022·山东·昌乐七年级期末）下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个图象中的阴影部分的面积相等进行验证． 【详解】解：A、阴影部分的面积 =（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意； B、阴影部分的面积2a•2b=4ab=，不是平方差公式，故本选项符合题意； C、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意； D、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了整式的乘法公式，用整式表示图形的面积是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形（如图所示），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为（      ）   A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据两种方式求得阴影部分面积即可求解． 【详解】解：阴影部分面积面积可以表示大正方形的面积减去小正方形的面积即：， 也可以表示为边长为与的长方形的面积，即, ∴，故选B． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，数形结合是解题的关键． 2．（2022·安徽宣城·七年级期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 ， ；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式： (3)试利用这个公式计算： 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式； （2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2； （3）从左到右依次利用平方差公式即可求解． （1） 解：s1= ， s2=， 故答案为：，； （2） 解：由题意，得， 故答案为：； （3） 解：原式= = = = = = =264-1+1 =264． 【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键． 【知识拓展2】平方差公式的基本运用 例2．（2022·安徽·合肥七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（   ） （1）（2）（3）（4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：能用平方差公式计算的有；， 则能用平方差公式简便计算的有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 【即学即练】 3．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）利用乘法公式计算：____________． 【答案】1 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： = = = =1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握是解题的关键． 4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）的结果是______． 【答案】 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式逐步计算即可． 【详解】解： = = = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是发现算式的规律，灵活构造平方差公式的形式． 知识点02 完全平方公式 知识点 完全平方和（差）公式： 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积 注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式 拓展：利用可推导除一些变式 ① ② 注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。 【知识拓展1】完全平方公式的几何背景 例1．（2022·福建·三明一中七年级阶段练习）如图所