专题5.3 二元一次方程组与一次函数、用二元一次方程组确定一次函数的表达式-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题5.3 二元一次方程组与一次函数、用二元一次方程组确定一次函数的表达式 ( 目标导航 ) 1、会把二元一次方程转化成一次函数；培养学生数形结合的思想； 2、会应用方程与函数的联系解决实际问题； 3、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解； 4、了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式。 ( 知识精讲 ) 知识点01 二元一次方程组与一次函数的关系 知识点 1.二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 【知识拓展1】两直线的交点与二元一次方程组的解 例1．（2022·山东安·七年级期中）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=−x-1的交点坐标为（-4，1）．故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【即学即练】 1．.（2022·河北·八年级期末）若一次函数与的图像相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用y＝-x＋1确定M点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入，得解得，所以点坐标为， 所以关于，的二元一次方程组的解是．故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【知识拓展2】图象法解二元一次方程组 例2．（2022·河南·八年级阶段练习）如图，直线与的图象交于点P，则关于x、y的方程组的解为___________． 【答案】 【分析】根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与的图象交于点P（-2，1）， ∴关于x、y的方程组的解为，故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 【即学即练】 2.（2022·陕西·八年级阶段练习）如图，已知一次函数和正比例函数的图像交于点，则根据图像可得二元一次方程组的解是______． 【答案】## 【分析】根据题意可知，二元一次方程组的解就是一次函数和正比例的图像的交点的坐标，即可求解． 【详解】解：由一次函数和正比例的图像，得 二元一次方程组的解是．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方程组的解与两直线交点的坐标的关系，考熟练掌握两直线的交点坐标就是两直线的解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【知识拓展3】直线围成的图形面积 例3．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学八年级期末）如图，直线与，轴交于点，，直线与，轴交于点，，这两条直线交于点． (1)求点坐标；(2)若为轴正半轴上一点，当的面积为时，求的坐标． 【答案】(1)E（1，2） (2)P（0，6） 【分析】（1）先把两个函数的解析式联立方程组，再求解，得出交点坐标； （2）先求出点A，D的坐标可得AD的长度，设点的坐标，再由的面积为，列方程求解，即可． （1）解：解方程组得： ； （2）解：由得：，，由得：，， 设，∵的面积为，∴，解得：，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解函数与方程组的关系是解题的关键． 【即学即练】 3.（2022·吉林吉林·八年级期末）若一次函数y=x+1的图象与x轴相交于A，一次函数y=-2x+4的图象与x轴相交于点B，两个一次函数的图像相交于C，则△ABC的面积为___________． 【答案】3 【分析】首先求得点A，B，C的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．