专题1.7 解直角三角函数应用-方向角问题（专项训练）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

专题1.7 解直角三角函数应用-方向角问题（专项训练） 1．（2022秋•乳山市校级月考）一艘渔船在海中自西向东航行，速度为28海里/小时，船在A处测得灯塔C在北偏东60°方向，半小时后渔船到达B点，测得灯塔C在北偏东15°方向，求船与灯塔间的最近距离． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点B作BE⊥AC于点E， 由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣15°＝75°，AB＝28×0.5＝14（海里）， ∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝45°， 在Rt△ABE中，sin30°＝，cos30°＝， 解得BE＝7，AE＝， 在Rt△BCE中，∠BCE＝45°， ∴BE＝CE＝7海里， ∴AC＝AE+CE＝（7+）海里， 在Rt△ACD中，sin30°＝， 解得CD＝． ∴船与灯塔间的最近距离为（）海里． 2．（2022春•江北区校级期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB． （1）求点C到直线AB的距离； （2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？ （结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732） 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米， 在Rt△ACD中，sin30°＝， 解得CD＝300， ∴点C到直线AB的距离为300米． （2）在Rt△ACD中，cos30°＝， 解得AD＝， 在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米， ∴BD＝300米，BC＝米， ∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米， ∵600+﹣（300+）≈205（米）， ∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米． 3．（2022•渝中区校级开学）4月重庆市巴南区某景区红枫烂漫，迎来大量游客观赏，为了落实防疫要求，景区计划在西门A和东门B之间修建一条笔直的专用通道AB（其中B在A的正东方向上）．已知通道AB的一侧有一个半径为800米的圆形湖泊，湖泊正中央是多彩喷泉C，在通道AB上的有个观景台M，经测得喷泉C在观景台M的北偏东53°方向上，从观景台M向东走300米到达凉亭N处，此时测得喷泉C正好在凉亭N的东北方向上．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）求观景台M与多彩喷泉C之间的距离是多少米？ （2）为了不破坏湖泊，修建的通道AB是否需要改变线路？请说明理由． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得，∠CND＝45°，∠CMD＝90°﹣53°＝37°，MN＝300米， 设CD＝x米， 在Rt△CND中，tan45°＝＝1， 解得DN＝x， ∴MD＝（x+300）米， 在Rt△CDM中，tan37°＝≈0.75， 解得x＝900， sin37°＝≈0.60， 解得MC≈1500， ∴观景台M与多彩喷泉C之间的距离约为1500米． （2）为了不破坏湖泊，修建的通道AB不需要改变线路，理由如下： 由（1）可知，CD＝900米， ∵900米＞800米， ∴喷泉C到道路AB的距离大于圆形湖泊的半径，道路AB与圆形湖泊所在的圆相离， ∴修建的通道AB不需要改变线路． 4．（2022春•西华县期末）一辆小汽车在一条笔直的道路上自西向东行驶，小林在距离路边20米的点C处放置了“检测仪器”，测得该车在点A时，与测量点C的距离为40米，6秒后，该车行驶到位于点C东北方向的点B处． （1）求AB的长（结果保留根号）； （2）该车的速度约为多少米/秒？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈1.732） 【解答】解：（1）由题意可知，CD＝20米，AC＝40米，∠BCD＝45°， 在Rt△ACD中，AC＝40米，CD＝20米， ∴AD＝＝20（米）， 在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，CD＝20米， ∴BD＝CD＝20米， ∴AB＝AD+BD＝（20+20）米， 答：AB的长为（20+20）米； （2）该车的速度为（20+20）÷6≈9.1（米/秒）， 答：该车的速度约为9.1米/秒． 5.（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°