专题1.5 解直角三角函数应用-坡度坡角应用（专项训练）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

专题1.5 解直角三角函数应用-坡度坡角应用（专项训练） 1．（2021秋•济阳区期末）如图，一山坡的坡度i＝1：，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB＝100米，则他在垂直方向上升的高度CB为 　 　米． 【解答】解：∵山坡的坡度i＝1：， ∴tan∠BAC＝＝， ∴∠BAC＝30°， ∴BC＝AB＝×100＝50（米）， 故答案为：50． 2. （2021秋•南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯BC的坡度，则扶梯BC的长度 为 米． 【解答】解：∵扶梯BC的坡度为：3， ∴tanB＝， ∴∠B＝30°， ∴BC＝2×3.5＝7（米）， 故答案为：7． 3．（2022•瑶海区三模）图1、图2分别是一滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，且G、E、D三点共线，若雪仗EM长为1m，EF＝0.4m，∠EMD＝30°，∠GFE＝62°，求此刻运动员头部G到斜坡AB的高度h（精确到0.1m，参考数据：sin62°≈0.88、cos62°≈0.47、tan62°≈1.88） 【解答】解：如图，连接GE， 则GE⊥EF，GD＝GE+ED． 在Rt△GEF中，∵∠GEF＝90°，∠GFE＝62°，EF＝0.4m， ∴GE＝EF•tan62°≈0.4×1.88＝0.752（m）， 在Rt△EDM中，∵∠EDM＝90°，∠EMD＝30°，EM＝1m， ∴ED＝EM＝0.5（m）， ∴GD＝GE+ED≈1.3m． 故此刻运动员头部G到斜坡AB的高度h约为1.3m． 4．（2022•太平区一模）某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝6m， ∴AB＝2AD＝12m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝16°，AD＝6m， ∴AC＝≈≈21.42（m）， 则AC﹣AB＝21.42﹣12≈9.4（m）， 答：改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度约为9.4m． 5．（2022春•北碚区校级月考）如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23） （1）求点D到纪念馆AB的水平距离； （2）求纪念馆AB的高度约为多少米？ 【解答】解：（1）延长AB交水平线于点M，过F作FN⊥CM于N，延长DE交AM于H， 则四边形HMCD为矩形， ∴HM＝CD＝1.5米，DH＝CM， ∵斜坡CF的坡度i＝1：2.4， ∴＝， ∴CN＝2.4FN， ∵CF＝6.5米， ∴BM＝FN＝2.5（米），CN＝6（米）， ∵MN＝BF＝4米， ∴DH＝CM＝6+4＝10（米）， 答：点D到纪念馆AB的水平距离为10米； （2）在Rt△ADH中，tan∠ADE＝ 则AH＝DH•tan∠ADE＝10×tan51°≈12.3（米）， ∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM﹣BM＝12.3+1.5﹣2.5≈11.3（米）， 答：纪念馆AB的高度约为11.3米． 6．（2022•黄岩区一模）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m． （1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°， ∴AD＝AB＝4（m）， 在Rt△ACD中，∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD＝8（m）， 答：新传送带AC的长度为8m； （2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°， ∴CD＝AC•cos∠ACD＝4（m）， 在Rt△ABD中，∠ABD＝45°， ∴BD＝AD＝4（m）， ∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m， ∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m）， ∵4＜5， ∴货物MNQP需要挪走． 7．（2022•铁岭模拟）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作