第15讲 等比数列的通项及前n项和性质7大题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第15讲 等比数列的通项及前n项和性质7大题型总结 【考点分析】 考点一：等比数列的基本概念及公式 ①等比数列的定义：（或者）． ②等比数列的通项公式：． ③等比中项：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有（）． ④等比数列的前项和公式： 考点二：等比数列的性质 ①通项下标和性质：在等比数列中，当时，则． 特别地，当时，则． ②等比数列通项的性质：，所以等比数列的通项为指数型函数． ③等比数列前n项和的常用性质：，即，其中 【题型目录】 题型一：等比数列的基本运算 题型二：等比中项及性质 题型三：等比数列通项下标的性质及应用 题型四：等比数列前项片段和的性质及应用 题型五：等比数列前项和的特点 题型六：等比数列的单调性 题型七：等比数列新文化试题 【典型例题】 题型一：等比数列的基本运算 【例1】在各项为正的递增等比数列 ​中，​，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【分析】首先根据等比数列的通项公式求，再利用公比表示，代入方程，即可求得公比，再表示通项公式. 【详解】数列 ​为各项为正的递增数列，设公比为​，且​， ​， ​ ​， ​， ​， 即 ​， 解得: ​ ​ ​. 故选：B 【例2】数列 中，， 若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．17 【答案】B 【分析】先令得到，从而得到数列​是等比数列，进而求得，再将化为，由此可得的值. 【详解】依题意，令​，则​，即有​， 故数列​是以2为首项，2为公比的等比数列， 设数列​的前​项和为​，则， 所以， 又因为， 所以，故​. 故选：B​. 【例3】已知等比数列的各项均为正数，且，则使得成立的正整数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】应用等比数列通项公式求基本量可得，再由求正整数的范围，即可得答案. 【详解】若等比数列的公比为，且， 由题设，两式相除得，则， 所以，故，显然时不成立， 所以且，，即，则， 故正整数的最小值为10. 故选：C 【例4】各项为正数且公比为q的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据等差中项的性质，建立方程，利用等比数列的通项公式，整理方程，解得公比，可得答案. 【详解】因为成等差数列，所以，即， 因为数列为各项为正数且公比为q的等比数列， 所以，解得或（舍去），则， 故选：B． 【例5】已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得. 【详解】由等比中项的性质得， 又， 解得或， 当时，或（舍）， 当时，（舍）， 所以，， 此时， 所以， 故选：D. 【例6】若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得为等比数列，再求得通项公式即可. 【详解】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 故选：D． 【例7】已知等比数列：，2，，8，…，若取此数列的偶数项，…组成新的数列，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】由题可得， 所以. 故选：C. 【例8】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则 （    ） A．31 B． C．31或5 D．或5 【答案】B 【分析】数列为等比数列，通过等比数列的前项和公式化简，从而得到公比的值，从而求出的值. 【详解】因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且 当时，，计算得 所以 当时，，，所以 综上： 故选：B 【例9】已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边同时取常用对数，即可得数列是以为首项，2为公比的等比数列，从而求得数列的通项公式. 【详解】易知，且，在的两边同时取常用对数，得， 故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 故选:C． 【例10】已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等比数列的知识求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】 因为，所以或， 又，所以. 由可知：，所以， 则， ， 由可得取等号时，但，无解； 又，经检验且时有最小值. 故选:B 【例11】设等比数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）结合题干条件求解基本量，利用等比数列的通项公式求解即可； （2）分组求和即可得解