专题23 平面向量的数量积与平面向量应用举例-2023年高考数学一轮复习精品教学课件（全国通用）

专题23：平面向量的数量积与平面向量应用举例 2023年高考第一轮复习 2 3 (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． ★注意事项： 4 5 6 7 8 考点一：数量积运算 13 考点二：向量垂直 17 考点三：求夹角 22 考点四：向量的模 25 考点五：向量的投影 谢谢大家！ THANK YOU FOR WATCHING 28 同向 反向 垂直 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则　　　　就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：　　　． ∠AOB [0，π] ★共线与垂直：若θ＝0°，则a与b_____； 若θ＝180°，则a与b_____；若θ＝90°，则a与b_____． |b|cosθ 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量　 　　　叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 　　　　叫做向量a在b方向上的投影， 　　　　叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影　　　　　　的乘积 |a||b|·cosθ |a|cosθ |b|cosθ 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝　　　　＝　　　　； (3)分配律：a·(b＋c)＝　　　　　． λ(a·b) a·(λb) a·b＋a·c 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ eq \r(a·a) |a|＝____________　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) cos θ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))) a⊥b a·b＝0 ____________________ |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))) ·eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))) q \o\al(2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)) x1x2＋y1y2＝0 eq \a\vs4\al([常用结论]) 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量． (　　) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． (　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝ eq \a\vs4\al(0). (　　) (4)(a·b)c＝a(b·c). (　　) eq \a\vs4\al() 计算向量数量积的三个角度 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角). (2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． eq \a\vs4\al() 有关平面向量垂直的两类题型 (1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一步：计算出这两个向量的坐标． 第二步：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要