专题09 【五年中考+一年模拟】几何压轴题-备战2023年广州中考数学真题模拟题分类汇编

专题09 几何压轴题 1．（2022•广州）如图，在菱形中，，，连接． （1）求的长； （2）点为线段上一动点（不与点，重合），点在边上，且． ①当时，求四边形的面积； ②当四边形的面积取得最小值时，的值是否也最小？如果是，求的最小值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析 【详解】（1）过点作交的延长线于，如图： 四边形是菱形， ， ， ， 在中， ， ， ； （2）①设交于点，过点作交的延长线于，如图： 菱形中， ，，， ， ， 在中，， 是菱形的对角线， ， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ； ②当四边形的面积取最小值时，的值是最小， 理由：设，则，过点作于点，过点作于点， 过点作于点，作于点，过点作交的延长线于，如图： ，， 四边形、是矩形， ，，，， 由①可知：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当时，四边形的面积取得最小值， 方法一： ， ，当且仅当时，， ， 当且仅当时，，即当时，的最小值为12， 当四边形的面积取最小值时，的值也最小，最小值为12． 方法二： 如图：将绕点逆时针旋转至，连接， 在中，， ，， ， ，即， ， 即当且仅当点、、三点共线时，的值最小， 此时点为菱形对角线的交点，中点，，， 当四边形的面积取最小值时，的值也最小，最小值为12． 2．（2021•广州）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点． （1）当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形； （2）当时，求的长； （3）当点从点开始向右运动到点时，求点运动路径的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：连接，，如图所示： ， 为中点， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是平行四边形． （2）作，设，如图所示， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，，， ，， ，， 在中，，，， ， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． （3）点轨迹为线段， 证明：如图， （此图仅作为证明轨迹用）， 延长线段交于，作于，作于， 四边形是菱形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，，． ，．，， 在中，，， ， 点轨迹为线段． 点轨迹是线段． 如图所示，作， 四边形为菱形，，， ，， ， ，即， ， ， 在中，，， ，， ，， 在中，，， ， ． 点路径长度为． 解法二：