专题20 勾股定理-备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题20 勾股定理 【专题目录】 技巧1：判定直角的四种方法 技巧2：巧用勾股定理解折叠问题 技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长 【题型】一、勾股定理理解三角形 【题型】二、勾股定理与网格问题 【题型】三、解直角三角形在实际中的应用 【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系 【题型】五、求梯子滑落高度 【题型】六、求旗杆高度 【题型】七、求蚂蚁爬行距离 【题型】八、求大树折断前的高度 【题型】九、求台阶上的地毯长度 【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等 【考纲要求】 1、了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定． 2、掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 【考点总结】一、直角三角形与勾股定理 直 角 三 角 形 与 勾 股 定 理 直角三角形性质 ①直角三角形的两锐角互余; ②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半; ③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半. 勾股定理概念 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式： 1）a²=c²- b² 2）b²=c²- a² 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 勾股定理的证明 方法一：，，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 方法三：，，化简得证 勾股数 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 常见的勾股数：如；；；等 扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）； 2）（为正整数） 3）（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 【技巧归纳】 技巧1：判定直角的四种方法 【类型】一、利用三边的数量关系说明直角 1．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长． 【类型】二、利用转化为三角形法构造直角三角形 2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD. 【类型】三、利用倍长中线法构造直角三角形 3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD. 【类型】四、利用“三线合一”法构造直角三角形 4．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN. (1)求证：CM＋CN＝BD； (2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系． 参考答案 1．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2， ∴△ABD为直角三角形， 且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°. 在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2， ∴CD＝＝＝15. 2．解：连接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2， ∴AC＝3，∴AC2＋AD2＝CD2. ∴△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝×2×＋×3×4＝6＋. 3．证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，BE. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. 又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝13. 在△ABE中，AE＝2AD＝12， ∴AE2＋AB2＝122＋52＝169. 又∵BE2＝132＝169， ∴AE2＋AB2＝BE2， ∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°， 即AB⊥AD. 点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直． 4．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°. ∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB. ∵∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD.在△CMD和△BND中， ∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD＝45°，CD＝BD，∴△CMD≌△BND， ∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC. 在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，CD＝BD，∴BC＝BD.∴CM＋CN＝BD. (2)解：CN－CM＝BD，如图②，连接CD，证法同(1)． 技巧2：巧用勾股定理解折叠问题 【类型】一、巧用全等法求折叠中线段的长 1．如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm