专题4.3 平面图形中的动点问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年七年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题4.3 平面图形中的动点问题 【例题精讲】 如图，是线段上不同于点，的一点，，，两动点分别从点，同时出发在线段上向左运动（无论谁先到达点，均停止运动），点的运动速度为，点的运动速度为． （1）若， ①当动点，运动了时，　12　； ②当，两点间的距离为时，则运动的时间为 　　； （2）当点，在运动时，总有， ①求的长度； ②若在直线上存在一点，使，求的长度． 【解答】解：（1）①，， ， 动点，运动了， ，， ，， ， 故答案为：12； ②设运动时间为， ，， ， ， ， ， 故答案为：4； （2）①，，， ， ， ， ， ， ； ②当点在点右侧时，， ， ； 当点在之间时， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的长度为或． 已知，为内部的一条射线 （1）如图1，若平分，平分，的度数为 　　； （2）如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数； （3）在（2）的条件下，绕点运动过程中，若，求的度数． 【解答】解：（1）如图1， 平分，平分， ，， ； 故答案为：； （2）平分，平分， ，， ； （3）当在的右侧时，如图2， 设，则， 平分，平分， ，， ， 即， ， 解得， 即， 当在的左侧时，如图3， 设，则， 平分，平分， ，， ， ， 解得， 答：的度数为或． 【题组训练】 1．如图，是线段上一动点，沿以的速度运动，是线段的中点，，设点运动时间为秒． （1）当时，①　4　．②求线段的长度． （2）在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 【解答】解：（1）①是线段上一动点，沿以的速度运动， 当时，． 故答案为：4； ②，， ， 是线段的中点， ； （2）不变； 中点为，是线段的中点， ，， ． 2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当为中点时，求的长； ②当点是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　或　． 【解答】解：（1），， ，， ①为中点， ， ， ， ； ②点是线段的三等分点，， 当点靠近点时，， ， ； 当点靠近点时，， ； （2）当点在线段之间时，如图， 设， 则， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， ； 当点在点的左侧，如图， 设，则， 设， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 当点在线段上及点在点右侧时，无解， 综上所述的值为或． 另一解法：可设，则，，， 以为原点，以的方向为正方向建立数轴，则表示0，表示4，表示6，如图， 设表示的数为，则表示， 可得，，，， ， ①当或时，上式可化为：，解得，则； ②时，上式化为：，解得：，则； ③时，上式化为：，解得：（舍去）． 综上所述的值为或． 故答案为：或． 3．如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点． （1）若点恰好是的中点，则　6　；若，则　　； （2）随着点位置的改变，的长是否会改变？如果改变，请说明原因；如果不变，请求出的长； （3）知识迁移：如图②，已知，过角的内部任意一点画射线，若、分别平分和，试说明的度数与射线的位置无关． 【解答】解：（1），点、分别是和的中点， ，， ， 又为中点，为中点， ，， ； 故答案为：6，6；， （2）， ， 又为中点，为中点， ，， ， 无论取何值（不超过的长不变； （3）设，， 平分，平分， ，， ， ，与位置无关． 4．平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线，，，当点在直线上运动时，始终保持，，将射线绕点顺时针旋转得到射线． （1）如图1，当点运动到使点在射线的左侧时，若平分，求的度数； （2）当点运动到使点在射线的左侧时，且时，求的度数； （3）当点运动到某一时刻时，满足，求出此时的度数． 【解答】解：（1）设的度数为， 由题意知，， 平分， ， ， 解得， 答：的度数为50； （2）①如图2， 当射线在内部时，设的度数为， 由题意知，，， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图3， 当射线在外部时，设的度数为， 由题意知，，， ， ， ， ， ， ， 解得； ③如图4， 由题意知，， 设，则， 则， 解得， ； ④如图4， 由题意知， 设，则， 则， 解得， 此时， ． 答：的度数为或30或或150； （3）如图4，当时， 由图可得：， 又， ， ； 如图5，当， 由图可得， 又， ， ； 当射线在下面时，如图6、7， 或， 综上，的度数为或或或． 5．已知：如图1，是定长线段上一定点，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示在线段上，在线段上） （1）若，当点、运动了，求的值． （2）若点、运动时，总有，直接填空：　　． （3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【解答】解：（