专题1.4 解直角三角函数应用（专项训练）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

专题1.4 解直角三角函数应用（专项训练） 1.（2022•官渡区一模）如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使BP⊥AP．利用工具测得PB＝50米，∠PBA＝α，根据测量数据可计算得到小河宽度PA为（　　） A．50sinα米 B．50cosα米 C．50tanα米 D．米 【答案】C 【解答】解：∵BP⊥AP， ∴∠APB＝90°， 在Rt△ABP中，PB＝50米，∠PBA＝α， ∴AP＝PB•tanα＝50tanα（米）， ∴小河宽度PA为50tanα米， 故选：C． 2．（2022•钦州一模）如图，小刚要测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，已知在坡脚C处测得树顶B的仰角为60°，在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，若CD＝10m，DE＝5m，则树AB的高是（　　） A．5m B． C．15m D．10m 【答案】C 【解答】解：在Rt△DEC中，DE＝5米，DC＝10米， ∴DE＝DC， ∴∠DCE＝30°， ∵∠BCA＝60°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE﹣∠BCA＝90°， ∵DF∥AE， ∴∠FDC＝∠DCE＝30°， ∵∠BDF＝30°， ∴∠BDC＝∠BDF+∠CDF＝60°， 在Rt△BDC中，BC＝DC•tan60°＝10（米）， 在Rt△BCA中，AB＝BC•sin60°＝10×＝15（米）， ∴树AB的高是15米， 故选：C． 3.（2022•鹿城区校级三模）如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为α，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（　　） A． B． C．（120﹣h）sinα D．（120﹣h）cosα 【答案】A 【解答】解：过点A作AG⊥CD，交DC的延长线于点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，过点B作BF⊥AG，垂足为F， 则四边形BFGE矩形， ∴FG＝BE， ∵AG＝120m，AF＝h， ∴FG＝BE＝（120﹣h）m， 在Rt△BEC中，BC＝＝m， 故选：A． 4.（2022•温州模拟）一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（　　） A．a•cosα+b•sinα B．a•sinα+b•cosα C．a•sinα+b•sinα D．a•cosα+b•cosα 【答案】B 【解答】解：过C点作CF⊥地面m于F，过D点作DH⊥地面m于H，过D点作DE⊥CF于E点，如图，则AD＝a，DH＝EF， ∵∠CDA＝∠AFE＝90°， ∴∠DCE＝∠DAF＝α， 在Rt△CDE中，∵cos∠DCE＝， ∴CE＝b•cosα， 在Rt△ADH，∵sinα＝， ∴DH＝a•sinα， ∴EF＝DH＝a•sinα， ∴CF＝CE+EF＝a•sinα+b•cosα． 故选：B． 5.（2021秋•瑞安市期末）为了解决楼房之间的采光问题，我市有关部门规定：两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼右侧50米处再建一幢新楼．若我市冬天中午12时太阳照射的光线与水平线的夹角最小为α度，则新楼最高可建（　　） A．50tanα米 B．米 C．（50tanα+1）米 D．米 【答案】C 【解答】解：设旧楼的一楼阳台处即为点B，过点B作BC⊥AC交AC于点C，如右图所示， 则∠ABC＝α， ∵BC＝50m，∠BCA＝90°， ∴tanα＝， ∴AC＝BC•tanα＝50tanα， 又∵旧楼阳台高1m， ∴新楼最高可建（50tanα+1）m， 故选：C． 6．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　） A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m 【答案】B 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图， ∵它是一个轴对称图形， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝BC＝3m， 在Rt△ADB中， ∵tan∠ABC＝， ∴AD＝BD•tanα＝3tanαm． ∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m， 故选：B． 7．（2022•娄底模拟）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（　　） A．4+米 B．4+米 C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米 【答案】B 【解答】解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4； ∴PB＝PA÷sin40°＝； ∴PA+PB＝4+． 故选：B． 8．（2022•花都区二模）如图，一辆小车沿着坡