专题5.2 一元一次方程与新定义（强化）-【题型分层练】2022-2023学年七年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题5.2 一元一次方程与新定义 【例题精讲】 定义一种新运算：☆，例如：☆，3☆．若☆，则的值是　　 A．9 B． C．9或 D．无法确定 【解答】解：当时，化简☆，得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 当时，化简☆，得：， 移项得：， 合并得：， 解得：， 综上，的值为9或． 故选：． 【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点，表示的数分别为3，，那么． （1）若，则的值为 　1或5　． （2）当　　是整数）时，式子成立． （3）在数轴上，点表示数，点表示数． 我们定义：当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），表示到表示数的点到表示数3的点的距离为2， 当表示数的点在表示数3的点的左侧时，； 当表示数的点在表示数3的点的右侧时，； 故答案为：1或5； （2）表示的是表示数的点到表示数1的点的距离和表示数的点的距离之和， 分下列三种情况：①当表示数的点在到1之间时，如图1， 此时成立； 满足条件的的整数为，，0，1； ②当表示数的点在左侧时，如图2， 此时，不存在这样的点； ③表示数的点在1右侧时，如图3， 此时，不存在这样的点； 故答案为：或或0或1； （3）存在，理由如下： 设点所表示的数位，点所表示的数为，点所表示的数为， 点和重合， 点所表示的数为， 点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点， ，， ， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，存在，此时的长为1或3． 【题组训练】 一．选择题（共15小题） 1．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确结论有　　 A．①③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【解答】解：①，故①正确； ②，， 即当时，故②错误； ③若， ， ，故③正确； ④，故④正确， 即正确都有①③④， 故选：． 2．在有理数范围内定义运算“☆”：☆，如：1☆．如果2☆☆成立，则的值是　　 A． B．5 C．0 D．2 【解答】解：根据题中的新定义化简2☆☆得：， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 故选：． 3．任意四个有理数、、、，定义了一种新运算：，若，则的值为　　 A．2 B．3 C．6 D． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， 合并得：， 解得：． 故选：． 5．如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为　　 A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3 【解答】解：， ， 根据数表，可得：或， 解得：或． 故选：． 6．定义新运算：※．例如3※，已知4※，则　　 A． B．6 C．4 D． 【解答】解：根据题中的新定义得：， 解得：． 故选：． 7．现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为　　 A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 【解答】解：当，则，； 当，则，， 但，这与矛盾，所以此种情况舍去． 即：若，则有理数的值为4， 故选：． 8．定义运算“”，其规则为，则方程的解为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 解得：， 故选：． 9．定义：“”运算为“”，若，则的值为　　 A．1 B． C． D．2 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：． 10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆，若☆，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：． 11．在有理数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解为　　 A． B．3 C．2 D．4 【解答】解：， ， 解得， 故选：． 12．定义符号“”表示的运算法则为，若，则　　 A． B． C．4 D． 【解答】解：根据题中的新定义得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：． 13．定义一种新的运算：，例如：，如果，则的值为　　 A．1 B． C． D． 【解答】解：已知等式整理得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：． 14．定义“”的运算规则为，若，则的值是　　 A． B．1 C． D．2 【解答】解：由新定义的运算可将方程化为， ， 移项得，， 合并同类项得，， 解得， 故选：． 15．定义“”运算为，若，则　　 A． B．1 C． D．2 【解答】解：根据题意， 可化为：， 解得． 故选：． 二．填空