专项20 一次函数中线段差最值问题-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项20 一次函数中线段差最值问题 考点：两条线段差最大值问题 求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。 （2）点A、B在直线m异侧： 解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+6分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．连接BC交x轴于点D． （1）求点C的坐标； （2）P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，求此时点P的坐标． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， 令x＝0，则y＝6， ∴B（0，6）， ∴OA＝2，BO＝6， 过点C作CH⊥x轴于H， ∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠CAD＝∠ABO， ∴∠AHC＝∠BOA＝90°， 由旋转得AB＝AC， ∴△ABO≌△CAH（AAS）， ∴CH＝OA＝2，AH＝BO＝6， ∴OH＝AH﹣OA＝4， ∴点C的坐标为（4，﹣2）； （2）作点C关于x轴的对称点C'，连接BC'延长交x轴于点P，则点P就是所求的最大值点， ∴C'（4，2）， 设直线BC'的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+6， ∴P（6，0）； 【变式1-1】如图1所示，直线l1：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝3x﹣4与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E． （1）求点E的坐标； （2）如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求|PE﹣PD|的最大值； 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴点E的坐标（2，2）； （2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P， 则PD＝PD′， ∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PD′|＝D′E最大， ∵直线l2：y＝3x﹣4与y轴分别交于D点， ∴D（0，﹣4）， ∴D′（0，4）， 过点E作EG⊥y轴于点G，则EG＝2，D′G＝2， ∴D′E＝＝＝2， ∴|PE﹣PD|的最大值为2； 【变式1-2】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点． （1）求a，b的值； （2）当线段AB最短时求点B的坐标； （3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大值． 【解答】解：（1）把点P（3，b）代入直线y＝x+1， 解得：b＝4， 把P（3，4）代入y＝﹣2x+a， 解得：a＝10， ∴a＝10，b＝4； （2）当AB⊥直线y＝x+1时，线段AB最短， 把直线y＝x+1与y轴的交点（0，1）标记为E， 由（1）可得A（0，10），且∠AEB＝45°，△AEB是等腰直角三角形， ∴AE＝9，AB＝BE＝， ∴B的横坐标为，纵坐标为， ∴B（，）； （3）在x轴上取点C，由三角形的三边关系得，AP＞AC﹣PC， 当A、P、C三点共线时，AC﹣PC＝AP，即AC﹣PC最大，即为AP， 所以点C在y＝﹣2x+10上， 把y＝0代入y＝﹣2x+10中， 得0＝﹣2x+10， 得x＝5， ∴C（5，0）， ∵P（3，4）， ∴AP＝． 【变式1-3】如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）． ①求△CGF的面积； ②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由； 【解答】解：（1）将点C（a，7）代入y＝x，可得a＝﹣3， ∴点C的坐标（﹣3，7）， 将点C（﹣3，7）和点A（﹣10，0）代入y＝kx+b，可得， ，解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+10； （2）①∵点E的坐标是（﹣15，0）， ∴当x＝﹣15时，y＝﹣＝35，y＝﹣15+10＝﹣5， ∴点F的坐标为（﹣15，35），点G的坐标为（﹣15，﹣5）， ∴S△CGF＝＝； ②存在， 证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大， 令x＝0，则y＝10， ∴点B的坐标（0，10）， ∵点M为y轴上OB的中点， ∴点M的坐标为（0，5）