专项19 一次函数中将饮马最小值问题（2种类型）-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）

专项19 一次函数中将饮马最小值问题（2种类型） 考点1：线段问题 （1） 在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 考点2：线段最小值问题 一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上） 1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、 A’ 是关于直线m的对称点。 考点2：三条线段和最小值问题 在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【典例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B与l2：y＝x相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线l1于点E，交直线l2于点D，交x轴于点M，且ED＝2DM，求a的值； 【答案】（1）（3，1）； （2）a＝2或6 【解答】解：（1）联立两直线解析式得：， 解得：， 则点C坐标为（3，1）； （2）由题意：M（a，0）D（a，a） E（a，﹣a+4） ∵DE＝2DM ∴|a﹣（﹣a+4）|＝2|a| 解得a＝2或6． 【变式1】如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B， （1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）； （2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标； 【答案】（1） 5 点A为（4，0），点B为（0，﹣3） （2）C坐标为（0，） 【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣3， 令x＝0，得到y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）． 令y＝0，得到x＝4， ∴点A为（4，0），点B为（0，﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5． （2）设OC＝x，则BC＝BO+OC＝x+3，即AC＝BC＝x+3， 在Rt△AOC中，∵AC2＝OC2+AO2， ∴x2+42＝（x+3）2， ∴x＝， ∴点C坐标为（0，）． 【典例2】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C． （1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求： ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． （2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） C的坐标为（4，4）；12 （2）P（2，0）． 【解答】解：（1）如图1， ①联立方程组得， 解得， ∴点C的坐标为（4，4）； ②在y＝﹣2x+12中，当x＝0时y＝12， 当y＝0时，﹣2x+12＝0，解得x＝6， ∴点B（0，12），A（6，0）， 则△OAC的面积为×6×4＝12； （2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连接MQ， ∵ON平分∠AOC， ∴∠AOQ＝∠COQ， 又OQ＝OQ． ∴△POQ≌△MOQ（SAS）， ∴PQ＝MQ， ∴AQ+PQ＝AQ+MQ， 当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小， 即AQ+PQ存在最小值； ∵AB⊥ON， ∴∠AEO＝∠CEO， ..△AEO≌△CEO（ASA）， ∴OC＝OA＝4， 在Rt△OAM中，∵∠AOM＝45°， ∴OM＝AM＝OA＝2． 此时OP＝OM＝2，故P（2，0）． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系内，直线l1：y＝x+4分别交x轴、y轴于点A，B，直线l2：y＝﹣3x与直线l1交于点C，P为y轴上一动点． （1）点A坐标 　 　，点B坐标 　 　； （2）求点C的坐标； （3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求出这个最小值． 【答案】（1） （﹣4，0），（0，4）； （2） （﹣1，3） （3）点P的坐标为（0，） 【解答】解：（1）在y＝x+4中，当y＝0时，x＝﹣4，当x＝0时，y＝4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， 故答案为：（﹣4，0），（0，4）； （2）