专题14 抛物线综合大题归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题14 抛物线综合大题归类 目录 【题型一】基础运算 1 【题型二】常规韦达定理 3 【题型三】抛物线方程特征：“点代入” 5 【题型四】抛物线中的直线过定点 8 【题型五】焦点四边形面积最值 9 【题型六】范围最值 11 【题型七】斜率计算1：等腰三角形与的等角 13 【题型八】斜率计算2：原点直线斜率积 14 【题型九】斜率计算3：斜率和定值与定点直线 16 【题型十】斜率计算4：三斜率 18 培优第一阶——基础过关练 21 培优第二阶——能力提升练 23 培优第三阶——培优拔尖练 25 【题型一】基础运算 【典例分析】 已知动点到的距离与点到直线：的距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程； （2）可知直线AB的方程为，设点，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值 （1） 由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线， 所以，则， 所以动点M的轨迹方程是 （2） 由已知可得直线的方程是即， 设， 由得，， 所以，则， 故 【提分秘籍】 基本规律 韦达定理基本题型思维： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式训练】 已知直线l的斜率为k，且过点，抛物线，直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B． (1)求k的取值范围； (2)设直线l的倾斜角，当tan为何值时，A、B分别与坐标原点的连线互相垂直？ 【答案】(1)且；(2)或. 【分析】（1）由题设直线l为且，联立抛物线结合，即可求k的范围； （2）由（1）应用韦达定理求得、，再由及数量积的坐标表示列方程求值，根据倾斜角和斜率关系及反三角函数求. (1) 由题设，直线l为且，联立抛物线整理得：， 所以，可得， 故k的取值范围为且. (2) 由（1），，，则， 由题设，，可得， 所以，。； 【题型二】常规韦达定理 【典例分析】 已知椭圆C：+ ＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线的焦点相同，F1，F2为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1． (1)求椭圆C的方程； (2)直线：交椭圆C于A，B两点，若，且，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由抛物线方程可得焦点为，即，当M为椭圆的短轴端点时，面积最大，即可得到，进而求得，即可求解； （2）联立直线方程与椭圆方程，可得，由韦达定理可得，结合点到直线距离公式可得，则根据即可求解. （1） 由抛物线的方程得其焦点为，则， 当点M为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则， 所以，故椭圆的方程为. （2） 联立得，， ，则（*）， 设，，则，， 因为且，代入（*）得，， 因为， 设点O到直线AB的距离为d，则， 所以， 所以，即. 【提分秘籍】 基本规律 联立方程写出韦达定理后，要注意把题中的条件转化为韦达定理的形式，这个是解题的突破点。 【变式训练】 已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点. (1)求抛物线C的方程； (2)当时，求直线AB的方程. 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由题意可得，，从而可求出，进而可得抛物线方程， （2）设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，表示出AB的中点M的坐标，的长度，直线OA和OB的方程，表示出，由列方程求出，从而可求出直线AB的方程. （1） 设圆的圆心坐标为，可得. 易知抛物线的焦点为，准线方程为， 由题意得， 解得（负值舍去），则抛物线C的方程为. （2） 由（1）知，设直线AB的方程为， 与抛物线的方程联立，可得， ，，则，，， 则AB的中点M的坐标为，易知，故， 直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即， 令，可得，， 则， 即，解得， 所以直线AB的方程为， 即或. 【题型三】抛物线方程特征：“点代入” 【典例分析】 已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为4． (1)求抛物线的方程; (2)已知点在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值． 【答案】(1)(2)128 【分析】（1）根据焦半径公式求解得，进而可得答案； （2）设点，，（），直线的斜率为，进而根据题意，结合弦长公式得，再根据基本不等式求解即可. （1）解：因为点到抛物线的焦点的距离为4，所以，，解得