专题13 抛物线性质归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题13 抛物线性质归类 目录 【题型一】抛物线定义1：轨迹 3 【题型二】抛物线定义2：方程与曲线 4 【题型三】 抛物线定义3：到焦点到准线距离互化 5 【题型四】抛物线定义4：焦半径坐标公式 8 【题型五】焦半径与焦点弦1： 10 【题型六】焦半径与焦点弦2：“梯形”模型 12 【题型七】焦半径与焦点弦3：焦半径“夹角”公式 13 【题型八】焦半径与焦点弦3：定比分点 15 【题型九】 最值与范围 17 【题型十】小题大做 20 培优第一阶——基础过关练 23 培优第二阶——能力提升练 26 培优第三阶——培优拔尖练 31 综述 1.抛物线有关知识： (1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. (2)抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 2.弦长公式 弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|； 3.重要结论： 抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. (1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)；③＋＝； 焦半径公式得：，， (2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4 (3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H． 4.抛物线焦点弦的几个常用结论 设是过抛物线的焦点的弦，若，，则： （1），； （2）若点在第一象限，点在第四象限，则，， 弦长，（为直线的倾斜角）； （3）； （4）以为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切. 5.抛物线切点弦公式： （1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：； （2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：． 5.焦点弦定比分点 过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为。|AB|＝x1＋x2＋p＝ 【题型一】抛物线定义1：轨迹 【典例分析】 已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为________． 【答案】，（注：也算对） 【分析】根据题意将问题转化为几何语言，再转化为代数语言后再化简即可. 【详解】由题意，若时，问题等价于， 则，化简得， 若，也满足题意. 所以动点的轨迹方程为，. 或者根据题意有，则，化简整理得：. 所以动点的轨迹方程为. 故答案为：，（注：也算对） 【提分秘籍】 基本规律 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 【变式训练】 1.已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__． 【答案】y2＝﹣8x 【分析】设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得． 【详解】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x. 故答案为：y2＝﹣8x． 2.一个动圆与直线相切，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是________. 【答案】 【分析】根据圆的切线性质，结合两圆外切的性质进行求解即可. 【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为， ，该圆的半径为，圆心坐标为， 因为动圆与直线相切，所以， 又因为动圆与外切，所以， 即， 当时，，显然不成立， 当时，，即， 故答案为： 3.动点P在曲线上移动，则点P和定点连线的中点的轨迹方程是________． 【答案】 【分析】设，且点P和定点连线的中点为，由，且，消去参数即可求出结果. 【详解】设，且点P和定点连线的中点为， 则，且，所以， 因此，即， 所以点P和定点连线的中点的轨迹方程是， 故答案为：. 【题型二】抛物线定义2：方程与曲线 【典例分析】 已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________． 【答案】 【分析】将转化为动点到点的距离，转化为动点到直线的距离，再根